湘教版高二数学选修2-2基础达标6.1练习卷

由集合{a₁}，{a₁，a₂}，{a₁，a₂，a₃}，…的子集个数归纳出集合{a₁，
a₂，a₃，…，a_n}的子集个数为(  )

n个连续自然数按规律排列下表：
0  3 → 4  7 → 8  11…
↓  ↑ ↓   ↑  ↓  ↑
1 → 2  5 → 6  9 → 10
根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．

设S_n＝＋…＋，写出S₁，S₂，S₃，S₄的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．

设n是自然数，则(n²－1)[1－(－1)ⁿ]的值 (  )

观察下列各式：5⁵＝3 125,5⁶＝15 625,5⁷＝78 125，…，则5^{2 011}
的末四位数字为  (  )．

设函数f(x)＝ (x>0)，观察f₁(x)＝f(x)＝，
f₂(x)＝f[f₁(x)]＝，
f₃(x)＝f[f₂(x)]＝，
f₄(x)＝f[f₃(x)]＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N_＋且n≥2时，f_n(x)＝f[f_n－1(x)]＝________.

观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________．

观察以下等式：
sin²30°＋cos²60°＋sin 30°·cos 60°＝，
sin²40°＋cos²70°＋sin 40°·cos 70°＝，
sin²15°＋cos²45°＋sin 15°·cos 45°＝.
…
写出反映一般规律的等式，并给予证明．

在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝，n∈N_＋，求a₂，a₃，a₄
并猜想数列的通项公式，并给出证明．

类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结
论为________．

如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、
SC和底面ABC，所成的角分别为α₁、α₂、α₃，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S₁，S₂，S₃，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．

给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．
其中类比得到的结论正确的个数是 (  )．

在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．

设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：
V→R满足：
对任意向量a＝(x₁，y₁)∈V，b＝(x₂，y₂)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.
现给出如下映射：
①f₁：V→R，f₁(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f₂：V→R，f₂(m)＝x²＋y，m＝(x，y)∈V；
③f₃：V→R，f₃(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
分析映射①②③是否具有性质p.

下列表述正确的是  (  )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足(1)f(9)＝2；(2)对∀a，b∈(0，＋
∞)，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，则f＝________.

函数f(x)＝x³＋sin x＋1(x∈R)若f(a)＝2，则f(－a)的值为 (  )．

设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(  )

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a₁，a₂∈R，a₁＋a₂＝1，求证：＋≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a₁)²＋(x－a₂)²，f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，则Δ＝4－8(＋)≤0，∴＋≥.
(1)已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁＋a₂＋…＋a_n＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足S_n＝＋a_n(n∈
N_＋)，求出a₁，a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通项公式并给出证明