2011年全国统一高考理科数学试卷（北京卷）

已知集合 $P=\left\{x\overline{)x^2}\le 1\right\}$ , $M=\left\{a\right\}$ ,若 $P\cup M=P$ ,则 $a$ 的取值范围是(   )

复数 $\frac{i-2}{1+2i}=$(   )

在极坐标系中，圆 $p=-2\sin \theta$的圆心的极坐标系是（）

执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为(  )

如图， $AD,AE,BC$分别与圆 $O$切于点 $D,E,F$，延长 $AF$与圆 $O$交于另一点 $G$。给出下列三个结论：
① $AD+AE=AB+BC+CA$；
② $AF·AG=AD·AE$

③ $△AFB~△ADG$

其中正确结论的序号是

根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{\sqrt{x}},x<A\\ \frac{c}{\sqrt{A}},x\ge A\end{array}\right.$（ $A,C$为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 $A$件产品用时15分钟，那么 $C$和 $A$的值分别是（）

某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）

设 $A\left(0,0\right),B\left(4,0\right),C\left(t+4,4\right),D\left(t,4\right)\left(t\in R\right)$.记 $N\left(t\right)$为平行四边形 $ABCD$内部（不含边界）的整点的个数,其中整点是指横,纵坐标都是整数的点，则函数 $N\left(t\right)$的值域为（）

在 $△BC$中。若 $b=5$， $\angle B=\frac{\pi }{4}$， $\tan A=2$，则 $\sin A=$； $a=$。

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\left(\sqrt{3},1\right),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\left(0,-1\right),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\left(k,\sqrt{3}\right)$。若 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}-2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$共线，则 $k$=.

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=\frac{1}{2},a_4=-4$，则公比 $q=$； $\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+...+\left|a_n\right|=$.

已知函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{2}{x},x\ge 2\\ (x-1{)}^3,x<2\end{array}$若关于 $x$的方程 $f(x）=k$有两个不同的实根，则数 $k$的取值范围是

曲线 $C$是平面内与两个定点 $F_1(-1,0)$和 $F_2(1,0)$的距离的积等于常数 $a^2(a>1)$的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线 $C$过坐标原点；
② 曲线 $C$关于坐标原点对称；
③若点 $P$在曲线 $C$上，则 $∆F_{1}P{F}_2$的面积大于 $\frac{1}{2}$ $a^2$.
其中，所有正确结论的序号是.

已知函数 $f\left(x\right)=4\cos x\sin (x+\frac{\pi }{6})-1$。
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的最小正周期：
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$在区间 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}]$上的最大值和最小值。

如图,在四棱锥 $P-ABCD$中, $PA\perp$平面 $ABCD$,底面 $ABCD$是菱形, $AB=2,\angle BAD={60}^{°}$.

(Ⅰ)求证: $BD\perp$平面 $PAC$;

(Ⅱ)若 $PA=AB$,求 $PB$与 $AC$所成角的余弦值；
(Ⅲ)当平面 $PBC$与平面 $PDC$垂直时,求 $PA$的长.

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$表示。

（Ⅰ）如果 $X=8$,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 $X=9$，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\bar{x}\right)}^2+{\left(x_2-\bar{x}\right)}^2+\dots +{\left(x_n-\bar{x}\right)}^2\right]$，其中 $\bar{x}$为 $x_1$， $x_2$，…… $x_n$的平均数）

已知函数 $f\left(x\right)=(x-k{)}^2{e}^{\frac{x}{k}}$.
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 $x\in (0,+\infty )$，都有 $f\left(x\right)\le \frac{1}{e}$，求 $k$的取值范围.

已知椭圆 $G:\frac{x^2}{4}+y^2=1$.过点 $(m,0)$作圆 $x^2+y^2=1$的切线l交椭圆 $G$于 $A,B$两点.
（I）求椭圆 $G$的焦点坐标和离心率；
（II）将 $\left|AB\right|$表示为 $m$的函数，并求 $\left|AB\right|$的最大值.

若数列 $A_1=a_1,a_2...a_n\left(n\ge 2\right)$满足 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=1\left(k=1,2,...,n-1\right)$，数列 $A_n$为 $E$数列，记 $S\left(A_n\right)$= $a_1+a_2+...+a_n$.
（Ⅰ）写出一个满足 $a_1=a_5=0$，且 $S\left(A_5\right)>0$的 $E$数列 $A_n$；
（Ⅱ）若 $a_1=12$， $n=2000$，证明： $E$数列 $A_n$是递增数列的充要条件是 $a_n=2011$；
（Ⅲ）对任意给定的整数 $n\left(n\ge 2\right)$，是否存在首项为 $0$的 $E$数列 $A_n$，使得 $S\left(A_n\right)$= $0$？如果存在，写出一个满足条件的 $E$数列 $A_n$；如果不存在，说明理由.