广东省惠州市高三第一次调研考试理科数学试卷

复数（其中为虚数单位）的虚部是 （   ）

A．

B．

C．

D．

已知集合，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该
校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 (     )

A．

B．

C．

D．

已知等差数列的前项和为，若，则 (     )

A．

B．

C．

D．

在二项式的展开式中，含的项的系数是（   ）

A．

B．

C．

D．

若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（   ）

A．

B．

C．

D．

已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（   ）

A．

B．

C．

D．

已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的
长度，若，，则（    ）
A.  B.                 

函数的定义域是         .

以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是         .

用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.

设变量满足，则的最大值是          .

函数的定义域为，，对任意，，则的解
集为              .

极坐标系中，分别是直线和
圆上的动点，则两点之间距离的最小值是             .

如图所示，是等腰三角形，是底边延长线上一点，
且，，则腰长=        .

已知.   
(1)求的值；  
(2)求的值．

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）
(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.

如图，在直三棱柱中，平面侧面，且
(1) 求证：；
(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。

已知数列中，，前项和．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

已知关于的函数，其导函数为．记函数 在区间上的最大值为．
(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；
(2) 若，证明对任意的，都有；
(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值．