解析：

试题分析：（1）根据矩形是中心对称图形，可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC而得出结论；
（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，就有BB'=B'C，由翻折可得B'C=BC，从而△BB'C为等边三角形．就可以求出∠B'CB=60°；
（3）分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，由BP=PC，根据平移变换的性质，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN²=a²，从而得出新三角形三边的值，从而得出结论．
试题解析：（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC；
（2）如答图1，连接BB'，

由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得，
B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CB=60°，
（或由三角函数FC：B'C=1：2求出∠B'CB=60°也可以．）
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；
（3）①如答图2，分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，

∵△PBC中，PB=PC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH²=HN²+BN²，HN²=a²，
则DM²=FQ²=HN²=a²，
BD²=BM²+DM²=6a²，BF²=BQ²+FQ²=10a²，
新三角形三边长为4a、a、a．
∵BH²=BD²+BF²
∴新三角形为直角三角形．
（或通过转换得新三角形三边就是BD、DI、BI，即求△GBI的面积或利用△HBI与△HGI相似，求△HBI的面积也可以）．
②其面积为a•a=a²．
∵a²＜50，
∴a²＜50
∴a的最大整数值为7．
考点：几何变换综合题．