解析：

（1）先确定出 $OA = 4$ ， $OB = 2$ ，再利用菱形的性质得出 $OC = 4$ ， $OD = 2$ ，最后用待定系数法即可确定出直线 $BC$ 解析式；

（2）分两种情况，先表示出点 $P$ 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式；

（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点 $P$ 的坐标．

解：（1） $∵ A (- 4, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，

$∴ OA = 4$ ， $OB = 2$ ，

$∵$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，

$∴ OC = OA = 4$ ， $OD = OB = 2$ ，

$∴ C (4, 0)$ ， $D (0, 2)$ ，

设直线 $BC$ 的解析式为 $y = kx - 2$ ，

$∴ 4 k - 2 = 0$ ，

$∴ k = \frac{1}{2}$ ，

$∴$ 直线 $BC$ 的解析式为 $y = \frac{1}{2} x - 2$ ；

（2）由（1）知， $C (4, 0)$ ， $D (0, 2)$ ，

$∴$ 直线 $CD$ 的解析式为 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ ，

由（1）知，直线 $BC$ 的解析式为 $y = \frac{1}{2} x - 2$ ，

当点 $P$ 在边 $BC$ 上时，

设 $P (2 a + 4$ ， $a) (- 2 ⩽ a < 0)$ ，

$∵ M (0, 4)$ ，

$∴ y = M P^{2} + O P^{2} = {(2 a + 4)}^{2} + {(a - 4)}^{2} + {(2 a + 4)}^{2} + a^{2} = 2 {(2 a + 4)}^{2} + {(a - 4)}^{2} + a^{2} = 10 a^{2} + 24 a + 48$

当点 $P$ 在边 $CD$ 上时，

$∵$ 点 $P$ 的纵坐标为 $a$ ，

$∴ P (4 - 2 a$ ， $a) (0 ⩽ a ⩽ 2)$ ，

$∵ M (0, 4)$ ，

$∴ y = M P^{2} + O P^{2} = {(4 - 2 a)}^{2} + {(a - 4)}^{2} + {(4 - 2 a)}^{2} + a^{2} = 10 a^{2} - 40 a + 48$ ，

（3）①当点 $P$ 在边 $BC$ 上时，即： $0 ⩽ a ⩽ 2$ ，

由（2）知， $P (2 a + 4, a)$ ，

$∵ M (0, 4)$ ，

$∴ O P^{2} = {(2 a + 4)}^{2} + a^{2} = 5 a^{2} + 16 a + 16$ ， $P M^{2} = {(2 a + 4)}^{2} + {(a - 4)}^{2} = 5 a^{2} - 8 a + 32$ ， $O M^{2} = 16$ ，

$∵ ΔPOM$ 是直角三角形，易知， $PM$ 最大，

$∴ O P^{2} + O M^{2} = P M^{2}$ ，

$∴ 5 a^{2} + 16 a + 16 + 16 = 5 a^{2} - 8 a + 32$ ，

$∴ a = 0$ （舍 $)$

②当点 $P$ 在边 $CD$ 上时，即： $0 ⩽ a ⩽ 2$ 时，

由（2）知， $P (4 - 2 a, a)$ ，

$∵ M (0, 4)$ ，

$∴ O P^{2} = {(4 - 2 a)}^{2} + a^{2} = 5 a^{2} - 16 a + 16$ ， $P M^{2} = {(4 - 2 a)}^{2} + {(a - 4)}^{2} = 5 a^{2} - 24 a + 32$ ， $O M^{2} = 16$ ，

$∵ ΔPOM$ 是直角三角形，

Ⅰ、当 $∠ POM = 90 °$ 时，

$∴ O P^{2} + O M^{2} = P M^{2}$ ，

$∴ 5 a^{2} - 16 a + 16 + 16 = 5 a^{2} - 24 a + 32$ ，

$∴ a = 0$ ，

$∴ P (4, 0)$ ，

Ⅱ、当 $∠ MPO = 90 °$ 时， $O P^{2} + P M^{2} = 5 a^{2} - 16 a + 16 + 5 a^{2} - 24 a + 32 = 10 a^{2} - 40 a + 48 = O M^{2} = 16$ ，

$∴ a = 2 + \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ （舍 $)$ 或 $a = 2 - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

$∴ P (\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $2 - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，

即：当 $ΔOPM$ 为直角三角形时，点 $P$ 的坐标为 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $2 - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ， $(4, 0)$ ．

此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理逆定理，两点间的距离公式，待定系数法，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是分类讨论的思想，解（3）的关键是分两种情况，利用勾股定理逆定理建立方程求解，是一道中等难度的题目．