解析：

先将 $y = - 4$ 代入正比例函数 $y = - 2 x$ ，可得出 $x = 2$ ，求得点 $A (2, - 4)$ ，再根据点 $A$ 与 $B$ 关于原点对称，得出 $B$ 点坐标，即可得出 $k$ 的值；由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形应该是平行四边形，那么 $ΔPOB$ 的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出 $P$ 点的坐标，然后表示出 $ΔPOB$ 的面积，由于 $ΔPOB$ 的面积为6，由此可得出关于 $P$ 点横坐标的方程，即可求出 $P$ 点的坐标．

解： $∵$ 点 $A$ 在正比例函数 $y = - 2 x$ 上，

$∴$ 把 $y = - 4$ 代入正比例函数 $y = - 2 x$ ，

解得 $x = 2$ ， $∴$ 点 $A (2, - 4)$ ，

$∵$ 点 $A$ 与 $B$ 关于原点对称，

$∴ B$ 点坐标为 $(- 2, 4)$ ，

把点 $A (2, - 4)$ 代入反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ，得 $k = - 8$ ，

$∴$ 反比例函数为 $y = - \frac{8}{x}$ ，

$∵$ 反比例函数图象是关于原点 $O$ 的中心对称图形，

$∴ OP = OQ$ ， $OA = OB$ ，

$∴$ 四边形 $AQBP$ 是平行四边形，

$∵ OP = OQ$ ， $OA = OB$ ，

$∴ S_{ΔPOA} = S_{ΔQOA}$ ， $S_{ΔPOB} = S_{ΔQOB}$ ， $S_{ΔPOB} = S_{ΔPOA}$ ， $S_{ΔAOQ} = S_{ΔBOQ}$ ，

$∴ S_{ΔPOA} = S_{ΔQOA} = S_{ΔQOB} = S_{ΔPOB} = \frac{1}{4} S_{平行四边形 AQBP}$ ，

$∴ S_{ΔPOB} = S_{平行四边形 AQBP} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \times 24 = 6$ ，

设点 $P$ 的横坐标为 $m (m < 0$ 且 $m \neq - 2)$ ，

得 $P (m, - \frac{8}{m})$ ，

过点 $P$ 、 $B$ 分别做 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M$ 、 $N$ ，

$∵$ 点 $P$ 、 $B$ 在双曲线上，

$∴ S_{ΔPOM} = S_{ΔBON} = 4$ ，

若 $m < - 2$ ，如图1，

$∵ S_{ΔBON} + S_{梯形 PMNB} = S_{ΔPOB} + S_{ΔPOM}$ ，

$∴ S_{梯形 PMNB} = S_{ΔPOB} = 6$ ．

$∴ \frac{1}{2} (4 - \frac{8}{m}) \cdot (- 2 - m) = 6$ ．

$∴ m_{1} = - 4$ ， $m_{2} = 1$ （舍去），

$∴ P (- 4, 2)$ ；

若 $- 2 < m < 0$ ，如图2，

$∵ S_{ΔPOM} + S_{梯形 BNMP} = S_{ΔBOP} + S_{ΔBON}$ ，

$∴ S_{梯形 BNMP} = S_{ΔPOB} = 6$ ．

$∴ \frac{1}{2} (4 - \frac{8}{m}) \cdot (m + 2) = 6$ ，

解得 $m_{1} = - 1$ ， $m_{2} = 4$ （舍去），

$∴ P (- 1, 8)$ ．

$∴$ 点 $P$ 的坐标是 $P (- 4, 2)$ 或 $P (- 1, 8)$ ，

故答案为 $P (- 4, 2)$ 或 $P (- 1, 8)$ ．

本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 中 $k$ 的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 $k$ 的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积．