解析：

（1）先求得对称轴方程，进而得 $B$ 点坐标，过 $D$ 作 $DH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，由 $B$ ， $C$ 的坐标得 $∠ OBC = 45 °$ ，进而求得 $DH$ ， $BH$ ，便可得 $D$ 点坐标，再由待定系数法求得解析式；

（2）先求出 $A$ 点的坐标，再分两种情况： $A$ 点在 $x$ 轴上时， $ΔOPA$ 为等腰直角三角形，符合条件的点 $P$ 恰好有2个； $A$ 点不在 $x$ 轴上， $∠ AOB = 30 °$ ， $ΔOPA$ 为等边三角形或顶角为 $120 °$ 的等腰三角形，符合条件的点 $P$ 恰好有2个．据此求得 $a$ ．

解：（1）过点 $D$ 作 $DH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，如图1，

$∵$ 二次函数 $y = a x^{2} - 4 ax + c$ ，

$∴$ 对称轴为 $x = - \frac{- 4 a}{2 a} = 2$ ，

$∴ B (2, 0)$ ，

$∵ C (0, - 2)$ ，

$∴ OB = OC = 2$ ，

$∴ ∠ OBC = ∠ DBH = 45 °$ ，

$∵ BH = \sqrt{2}$ ，

$∴ BH = DH = 1$ ，

$∴ OH = OB + BH = 2 + 1 = 3$ ，

$∴ D (3, 1)$ ，

把 $C (0, - 2)$ ， $D (3, 1)$ 代入 $y = a x^{2} - 4 ax + c$ 中得，

$\{\begin{matrix} c = - 2 \\ 9 a - 12 a + c = 1 \end{matrix}$ ，

$∴ \{\begin{matrix} a = - 1 \\ c = - 2 \end{matrix}$ ，

$∴$ 二次函数的解析式为 $y = - x^{2} + 4 x - 2$ ；

（2） $∵ y = a x^{2} - 4 ax + c$ 过 $C (0, - 2)$ ，

$∴ c = - 2$ ，

$∴ y = a x^{2} - 4 ax + c = a {(x - 2)}^{2} - 4 a - 2$ ，

$∴ A (2, - 4 a - 2)$ ，

$∵ P$ 在 $y$ 轴上，且 $ΔPOA$ 为等腰三角形，若符合条件的点 $P$ 恰好有2个，

$∴$ ①当抛物线的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上时， $∠ POA = 90 °$ ，则 $OP = OA$ ，这样的 $P$ 点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，

此时 $A (2, 0)$ ，

$∴ - 4 a - 2 = 0$ ，

解得 $a = - \frac{1}{2}$ ；

②当抛物线的顶点 $A$ 不在 $x$ 轴上时， $∠ AOB = 30 °$ 时，则 $ΔOPA$ 为等边三角形或 $∠ AOP = 120 °$ 的等腰三角形，这样的 $P$ 点也只有两个，如图3，

$∴ AB = OB \cdot \tan 30 ° = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

$∴ | - 4 a - 2 | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

$∴ a = - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \sqrt{3}$ 或 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \sqrt{3}$ ．

综上， $a = - \frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \sqrt{3}$ 或 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \sqrt{3}$ ．

本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．