解析：

（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出 $CF = \frac{1}{2} DE = EF$ ，由等腰三角形的性质得出 $∠ FEC = ∠ FCE$ ，证出 $CF = CE$ ，由 $ASA$ 证明 $ΔBCF ≅ ΔDEC$ 即可；

（2）设 $CE = a$ ，则 $BE = 2 a$ ， $BC = 3 a$ ，证明 $ΔBCF ∽ ΔDEC$ ，得出对应边成比例 $\frac{CF}{EC} = \frac{BC}{ED}$ ，得出 $E D^{2} = 6 a^{2}$ ，由勾股定理得出 $DC = \sqrt{5} a$ ，即可得出结果；

（3）过 $C'$ 作 $C' H ⊥ AF$ 于点 $H$ ，连接 $CC'$ 交 $EF$ 于 $M$ ，由直角三角形斜边上的中线性质得出 $∠ FEC = ∠ FCE$ ，证出 $∠ ADF = ∠ BCF$ ，由 $SAS$ 证明 $ΔADF ≅ ΔBCF$ ，得出 $∠ AFD = ∠ BFC = 90 °$ ，证出四边形 $C' MFH$ 是矩形，得出 $FM = C' H = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，设 $EM = x$ ，则 $FC = FE = x + \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，由勾股定理得出方程，解方程求出 $EM = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $FC = FE = \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ；由（2）得： $\frac{CF}{EC} = \frac{BC}{ED}$ ，把 $CE = 1$ ， $BE = n$ 代入计算即可得出 $n$ 的值．

（1）证明； $∵$ 在矩形 $ABCD$ 中， $∠ DCE = 90 °$ ， $F$ 是斜边 $DE$ 的中点，

$∴ CF = \frac{1}{2} DE = EF$ ，

$∴ ∠ FEC = ∠ FCE$ ，

$∵ ∠ BFC = 90 °$ ， $E$ 为 $BC$ 中点，

$∴ EF = EC$ ，

$∴ CF = CE$ ，

在 $ΔBCF$ 和 $ΔDEC$ 中， $\{\begin{matrix} ∠ BFC = ∠ DCE \\ CF = CE \\ ∠ FCB = ∠ DEC \end{matrix}$ ，

$∴ ΔBCF ≅ ΔDEC (ASA)$ ；

（2）解：设 $CE = a$ ，由 $BE = 2 CE$ ，得： $BE = 2 a$ ， $BC = 3 a$ ，

$∵ CF$ 是 $Rt Δ DCE$ 斜边上的中线，

$∴ CF = \frac{1}{2} DE$ ，

$∵ ∠ FEC = ∠ FCE$ ， $∠ BFC = ∠ DCE = 90 °$ ，

$∴ ΔBCF ∽ ΔDEC$ ，

$∴ \frac{CF}{EC} = \frac{BC}{ED}$ ，

即： $\frac{\frac{1}{2} ED}{a} = \frac{3 a}{ED}$ ，

解得： $E D^{2} = 6 a^{2}$

由勾股定理得： $DC = \sqrt{D E^{2} - E C^{2}} = \sqrt{6 a^{2} - a^{2}} = \sqrt{5} a$ ，

$∴ \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{5} a}{3 a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ；

（3）解：过 $C'$ 作 $C' H ⊥ AF$ 于点 $H$ ，连接 $CC'$ 交 $EF$ 于 $M$ ，如图所示：

$∵ CF$ 是 $Rt Δ DCE$ 斜边上的中线，

$∴ FC = FE = FD$ ，

$∴ ∠ FEC = ∠ FCE$ ，

$∵$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，

$∴ AD / / BC$ ， $AD = BC$ ，

$∴ ∠ ADF = ∠ CEF$ ，

$∴ ∠ ADF = ∠ BCF$ ，

在 $ΔADF$ 和 $ΔBCF$ 中， $\{\begin{matrix} AD = BC \\ ∠ ADF = ∠ BCF \\ DF = CF \end{matrix}$ ，

$∴ ΔADF ≅ ΔBCF (SAS)$ ，

$∴ ∠ AFD = ∠ BFC = 90 °$ ，

$∵ CH ⊥ AF$ ， $C' C ⊥ EF$ ， $∠ HFE = ∠ C' HF = ∠ C' MF = 90 °$ ，

$∴$ 四边形 $C' MFH$ 是矩形，

$∴ FM = C' H = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，

设 $EM = x$ ，则 $FC = FE = x + \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，

在 $Rt Δ EMC$ 和 $Rt Δ FMC$ 中，

由勾股定理得： $C E^{2} - E M^{2} = C F^{2} - F M^{2}$ ，

$∴ 1^{2} - x^{2} = {(x + \frac{2 \sqrt{10}}{5})}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{10}}{5})}^{2}$ ，

解得： $x = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，或 $x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ （舍去），

$∴ EM = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $FC = FE = \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{2 \sqrt{10}}{5} = \frac{5 \sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ；

由（2）得： $\frac{CF}{EC} = \frac{BC}{ED}$ ，

把 $CE = 1$ ， $BE = n$ 代入上式计算得： $CF = \frac{\sqrt{2 n + 2}}{2}$ ，

$∴ \frac{\sqrt{2 n + 2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{2 \sqrt{10}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，

解得： $n = 4$ ．

本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．