解析：

（1）根据直径所对的圆周角为 $90 °$ 和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果．

（2）证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．根据全等三角形的判定可得 $ΔCFE ≅ ΔBDG (ASA)$ 可得结论，

（3）①连接 $DE$ ， $\hat{AD} = \hat{CE}$ ，由弧相等得出弧所对的弦相等，在 $Rt Δ ABG$ 中， $\sin ∠ AGB = \frac{AB}{BG} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，得 $EF = 1$ ，在 $Rt Δ DEG$ 中， $∠ EGD = 60 °$ ，可得 $EG = \frac{1}{2}$ ， $DE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

在 $Rt Δ FED$ 中，由勾股定理得 $DF = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，即可求得周长的值．②如图，过点 $C$ 作 $CH ⊥ BF$ 于 $H$ ，可得 $ΔBAD ≅ ΔCHF (AAS)$ ，得 $FH = AD$ ，由相似三角形的判定可得 $ΔBHC ∽ ΔCHF$ ，设 $GH = x$ ，由相似的性质得 $C H^{2} = 2 (2 - x)$ ，在 $Rt Δ GHC$ 中，由勾股定理知 $C G^{2} = G H^{2} + C H^{2}) = {(x - 1)}^{2} + 3$ ，即可得最小值．

解：（1） $∵ BD$ 为 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ BAD = 90 °$ ，

$∵ \hat{AE} = \hat{CD}$ ，

$∴ ∠ ABG = ∠ DBC = α$ ，

$∴ ∠ AGB = 90 ° - α$ ；

（2） $∵ BD$ 为 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ BCD = 90 °$ ，

$∴ ∠ BEC = ∠ BDC = 90 ° - α$ ，

$∴ ∠ BEC = ∠ AGB$ ，

$∵ ∠ CEF = 180 ° - ∠ BEC$ ， $∠ BGD = 180 ° - ∠ AGB$ ，

$∴ ∠ CEF = ∠ BGD$ ，

又 $∵ CE = BG$ ， $∠ ECF = ∠ GBD$ ，

$∴ ΔCFE ≅ ΔBDG (ASA)$ ，

$∴ EF = DG$ ；

（3）①如图，连接 $DE$ ，

$∵ BD$ 为 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ A = ∠ BED = 90 °$ ，

在 $Rt Δ ABD$ 中， $\tan ∠ ADB = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $AD = 2$ ，

$∴ AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AD = \sqrt{3}$ ，

$∵ \hat{AE} = \hat{CD}$ ，

$∴ \hat{AE} + \hat{DE} = \hat{CD} + \hat{DE}$ ，

即 $\hat{AD} = \hat{CE}$ ，

$∴ AD = CE$ ，

$∵ CE = BG$ ，

$∴ BG = AD = 2$ ，

$∵$ 在 $Rt Δ ABG$ 中， $\sin ∠ AGB = \frac{AB}{BG} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$∴ ∠ AGB = 60 °$ ， $AG = \frac{1}{2} BG = 1$ ，

$∴ EF = DG = AD - AG = 1$ ，

$∵$ 在 $Rt Δ DEG$ 中， $∠ EGD = 60 °$ ，

$∴ EG = \frac{1}{2} DG = \frac{1}{2}$ ， $DE = \frac{\sqrt{3}}{2} DG = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

在 $Rt Δ FED$ 中， $DF = \sqrt{E F^{2} + D E^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，

$∴ FG + DG + DF = \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$ ，

$∴ ΔFGD$ 的周长为 $\frac{5 + \sqrt{7}}{2}$ ；

②如图，过点 $C$ 作 $CH ⊥ BF$ 于 $H$ ，

$∵ ΔBDG ≅ ΔCFE$ ，

$∴ BD = CF$ ， $∠ CFH = ∠ BDA$ ，

$∵ ∠ BAD = ∠ CHF = 90 °$ ，

$∴ ΔBAD ≅ ΔCHF (AAS)$ ，

$∴ FH = AD$ ，

$∵ AD = BG$ ，

$∴ FH = BG$ ，

$∵ ∠ BCF = 90 °$ ，

$∴ ∠ BCH + ∠ HCF = 90 °$ ，

$∵ ∠ BCH + ∠ HBC = 90 °$ ，

$∴ ∠ HCF = ∠ HBC$ ，

$∵ ∠ BHC = ∠ CHF = 90 °$ ，

$∴ ΔBHC ∽ ΔCHF$ ，

$∴ \frac{BH}{CH} = \frac{CH}{FH}$ ，

设 $GH = x$ ，

$∴ BH = 2 - x$ ，

$∴ C H^{2} = 2 (2 - x)$ ，

在 $Rt Δ GHC$ 中， $C G^{2} = G H^{2} + C H^{2}$ ，

$∴ C G^{2} = x^{2} + 2 (2 - x) = {(x - 1)}^{2} + 3$ ，

当 $x = 1$ 时， $C G^{2}$ 的最小值为3，

$∴ CG$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ．