解析：

（1）将 $a = 3$ 代入，求导得 $f^{'} (x) = x^{2} - 6 x - 3$ ，令 $f^{'} (x) > 0$ 求得增区间，令 $f^{'} (x) < 0$ 求得减区间；（2）令 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a (x^{2} + x + 1) = 0$ ，即 $\frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1} - 3 a = 0$ ，则将问题转化为函数 $g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1} - 3 a$ 只有一个零点问题，研究函数 $g (x)$ 单调性可得.

（1）当a=3时，f（x）= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 3$ ，f ′（x）= $x^{2} - 6 x - 3$ ．

令f ′（x）=0解得x= $3 - 2 \sqrt{3}$ 或x= $3 + 2 \sqrt{3}$ ．

当x∈（–∞， $3 - 2 \sqrt{3}$ ）∪（ $3 + 2 \sqrt{3}$ ，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（ $3 - 2 \sqrt{3}$ ， $3 + 2 \sqrt{3}$ ）时，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞， $3 - 2 \sqrt{3}$ ），（ $3 + 2 \sqrt{3}$ ，+∞）单调递增，在（ $3 - 2 \sqrt{3}$ ， $3 + 2 \sqrt{3}$ ）单调递减．

（2）由于 $x^{2} + x + 1 > 0$ ，所以 $f (x) = 0$ 等价于 $\frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1} - 3 a = 0$ ．

设 $g (x)$ = $\frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1} - 3 a$ ，则g ′（x）= $\frac{x^{2} (x^{2} + 2 x + 3)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）= $- 6 a^{2} + 2 a - \frac{1}{3} = - 6 {(a - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{6} < 0$ ，f（3a+1）= $\frac{1}{3} > 0$ ，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．

（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数 $f (x)$ 的定义域；②求导数 $f^{'} (x)$ ；③由 $f^{'} (x) > 0$ （或 $f^{'} (x) < 0$ ）解出相应的 $x$ 的取值范围，当 $f^{'} (x) > 0$ 时， $f (x)$ 在相应区间上是增函数；当 $f^{'} (x) < 0$ 时， $f (x)$ 在相应区间上是减增函数.

（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数 $g (x)$ 有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.