解析：

（1）水对 $B$ 容器底部的压强 $p_{B} ＝ ρ_{水} g h ＝ 1.0 \times 10^{3} k g / m^{3} \times 10 N / k g \times 0.2 m ＝ 2000 P a$ ；

（2）阀门K打开前， $P_{A}$ 就是物块对容器底的压强，当 $p_{B} ＝ 2 p_{A}$ 时， $p_{A} = \frac{1}{2} p_{B} = \frac{1}{2} \times 2000 Pa = 1000 P a$ ；

由 $p_{A} ＝ ρ_{物} g h_{物}$ 得：物块密度为 $ρ_{物} = \frac{p_{A}}{g h_{物}} = \frac{1000 Pa}{10 N / kg \times 0.2 m} = 0.5 \times 10^{3} k g / m^{3}$ ；

（3）物块体积： $V_{物} ＝ S_{物} h_{物} ＝ 50 \times 10^{﹣ 4} m^{2} \times 0.2 m ＝ 1 \times 10^{﹣ 3} m^{3}$ ；

由 $ρ = \frac{m}{V}$ 得：物块质量 $m_{物} ＝ ρ_{物} V_{物} ＝ 0.5 \times 10^{3} k g / m^{3} \times 1 \times 10^{﹣ 3} m^{3} ＝ 0.5 k g$ ；

则物块的重力 $G_{物} ＝ m_{物} g ＝ 0.5 k g \times 10 N / k g ＝ 5 N$ ；

阀门 $K$ 打开后，水从 $B$ 容器进入 $A$ 容器，当物块刚好漂浮时，有 $F_{浮} ＝ G_{物} ＝ 5 N$ ；

由 $F_{浮} ＝ G_{排} ＝ ρ_{水} g V_{排}$ 得：排开水的体积 $V_{排} = \frac{F_{浮}}{ρ_{水} g} = \frac{5 N}{1.0 \times 1 0^{3} kg / m^{3} \times 10 N / kg} = 5 \times 10^{﹣ 4} m^{3}$ ；

进入 $A$ 容器中水的深度： $h ` = \frac{V_{排}}{S_{物}} = \frac{5 \times 1 0^{- 4} m^{3}}{50 \times 1 0^{- 4} m^{2}} = 0.1 m$ 。

答：（1）阀门 $K$ 打开前，水对 $B$ 容器底部的压强 $p_{B}$ 为 $2000 P a$ ；

（2）物块的密度为 $0.5 \times 10^{3} k g / m^{3}$ ；

（3）水进入 $A$ 容器中的深度为 $0.1 m$ 。