解析：

（1）∵抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ，设抛物线的解析式为 $y = a {(x + 1)}^{2} + k (a \neq 0)$ ，又∵图象与 $x$ 轴交于 $B (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于 $C (0, - 3)$ ，代入上式得 $\{\begin{matrix} a {(- 3 + 1)}^{2} + k = 0, \\ a {(0 + 1)}^{2} + k = - 3, \end{matrix}$ 解之得 $\{\begin{matrix} a = 1, \\ k = - 4 . \end{matrix} ∴$ 抛物线的解析式为 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ ；（温馨提示:解法不唯一，抛物线解析式也可写成一般式 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 或交点式 $y = (x + 3) (x - 1) . ∵ A, B$ 两点关于直线 $x = - 1$ 对称， $∴ A (1, 0)$ .又∵直线 $y = - 2 x + m$ 过点 $A$ ，代入得 $0 = - 2 \times 1 + m, ∴ m = 2$ .）

（2）由（1）得 $m = 2 . ∴$ 直线 $AF$ 的解析式为 $y = - 2 x + 2$ .又∵直线 $y = - 2 x + 2$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与抛物线交于点 $E$ ，当 $x = 0$ 时，代入直线得 $y = 2 . ∴ D (0, 2)$ .联立得

$\{\begin{matrix} y = - 2 x + 2, \\ y = (^{x} - 4, \end{matrix}$ 解之得 $\{\begin{matrix} x_{1} = - 5, \\ y_{1} = 12, \end{matrix} \{\begin{matrix} x_{2} = 1, \\ y_{2} = 0, \end{matrix}$ 又∵点E在第二象限， $∴ E (- 5, 12)$ .

过点 $E$ 作 $EP ⊥ y$ 轴于点 $P$ ，如图①，∵ $∠ ADO = ∠ EDP, ∠ DOA = ∠ DPE = 90^{\circ}, ∴ △ EDP ∽ △ ADO . ∴ P (0, 12)$ ；

过点 $E$ 作 $E P^{'} ⊥ AE$ ，交 $y$ 轴于点 $P^{'}$ ，同理可得 $△ P^{'} EP ∽ △ ADO$ .∴易得 $∠ ADO = ∠ PE P^{'} . ∴ tan ∠ ADO = tan ∠ PE P^{'}$ . $∴ \frac{OA}{OD} = \frac{P P^{'}}{EP} . ∴ \frac{1}{2} = \frac{P P^{'}}{5} . ∴ P P^{'} = 2.5 . ∴ P^{'} (0, 14.5)$ .综上所述:在 $y$ 轴上存在点 $P$ ，当 $P (0, 12)$ 或 $P (0, 14.5)$ 时，以 $D, E, P$ 为顶点的三角形与 $△ AOD$ 相似；

（温䅽提示:方法不唯一，也可用相似三角形对应边成比例或射影定理求解）

（3）∵点 $E, F$ 均为定点， $∴$ 线段 $EF$ 长为定值.又∵线段 $MN = 2$ 为定值， $∴$ 当 $EM + FN$ 的和为最小值时，四边形 $MEFN$ 的周长最小.如图②，画出直线 $y = 1$ ，将点 $F$ 向左平移 $2$ 个单位得到 $F^{'}$ ，作点 $E$ 关于直线 $y = 1$ 的对称点 $E^{'}$ ，连接 $E^{'} F^{'}$ 与直线 $y = 1$ 交于点 $M$ ，过点 $F$ 作 $FN / / E^{'} F^{'}$ ，交直线 $y = 1$ 于点 $N$ .由作图可知 $EM = E^{'} M, FN = F^{'} M$ ，又 $∵ E^{'}, M, F^{'}$ 三点共线， $∴ EM + FN = E^{'} M + F^{'} M = E^{'} F^{'}$ ，此时 $EM + FN$ 的和最小.∵点 $F$ 为直线 $y = - 2 x + 2$ 与直线 $x = - 1$ 的交点， $∴$ 易得 $F (- 1, 4)$ . $∴ F^{'} (- 3, 4)$ ，又∵ $E (- 5, 12), ∴ E^{'} (- 5, - 10)$ .如图，延长 $F F^{'}$ 交线段 $E E^{'}$ 于点 $W, ∵ F F^{'}$ 与直线 $y = 1$ 平行， $∴$ 易得 $FW ⊥ E E^{'}$ .在 $Rt △ EWF$ 中，由勾股定理得 $EF = \sqrt{E W^{2} + F W^{2}} = \sqrt{{(12 - 4)}^{2} + {(- 1 + 5)}^{2}} = 4 \sqrt{5}$ ，在 $Rt △ E^{'} F^{'} W$ 中，由勾股定理得 $E^{'} F^{'} = \sqrt{E^{'} W^{2} + F^{'} W^{2}} = \sqrt{{(4 + 10)}^{2} + {(- 3 + 5)}^{2}} = 10 \sqrt{2} . ∴$ 四边形 $MEFN$ 的周长最小值为 $ME + FN + EF + MN = E^{'} F^{'} + EF + MN = 10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{5} + 2$ .

（温馨提示:解法不唯一，也可将点 $E$ 向右平移 $2$ 个单位，作点 $F$ 关于直线 $y = 1$ 的对称点，求线段的长可以用两点间的距离公式）