2015年全国统一高考理科数学试卷（湖南卷）

已知$\frac{{\left(1-i\right)}^2}{z}=1+i$（$i$为虚数单位），则复数$z$=（）

设 $A,B$ 是两个集合，则" $A\cap B=A$ "是" $A\subseteq B$ "的（   ）

执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$ ，则输出的 $S=$ （）

若变量$x$，$y$满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+y\ge -1\\ 2x-y\le 1\\ y\le 1\end{array}\\ \end{array}\right.$，则$z=3x-y$的最小值为（）

设函数 $f\left(x\right)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$，则 $f\left(x\right)$是（   ）

已知$(\sqrt{x}-\frac{a}{\sqrt{x}}{)}^5$的展开式中含$x^{\frac{3}{2}}$的项的系数为30，则$a=$（   ）

在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线 $C$ 为正态分布 $N\left(0,1\right)$ 的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

附：若 $X~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ ，则 $P\left(\mu -\sigma <X\le \mu +\sigma \right)=0.6826,P\left(\mu -2\sigma <X\le \mu +2\sigma \right)=0.9544$

已知点 $A,B,C$在圆 $x^2+y^2=1$上运动，且 $AB\perp BC$，若点 $P$的坐标为 $(2,0)$，则 $\left|\stackrel{\to }{PA}+\stackrel{\to }{PB}+\stackrel{\to }{PC}\right|$的最大值为（   ）

将函数 $f\left(x\right)=\sin 2x$的图像向右平移 $\phi \left(0<\phi <\frac{\pi }{2}\right)$个单位后得到函数 $g\left(x\right)$的图像,若对满足 $\left|f\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|=2$的 $x_1,x_2$,有 ${\left|x_1-x_2\right|}_{min}=\frac{\pi }{3}$,则 $\phi =$（）

某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= ）（    ）

${\int }_0^2(x-1)dx=$.

在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为 $1~35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间 $\left[139,151\right]$ 上的运动员人数是.

设$F$是双曲线$C$：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点，若$C$上存在点$P$，使线段$PF$的中点恰为其虚轴的一个端点，则$C$的离心率为.

设$S_n$为等比数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和，若$a_1=1$，且$3S_1$，$2S_2$，$S_3$成等差数列，则$a_n=$（）.

已知$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^3,x\le a\\ x^2,x>a\end{array}$，若存在实数$b$，使函数$g\left(x\right)=f\left(x\right)-b$有两个零点，则$a$的取值范围是.

如图，在圆 $O$ 中，相交于点 $E$ 的两弦 $AB$ ， $CD$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，直线 $MO$ 与直线 $CD$ 相交于点 $F$ ，证明：

（1） $\angle MEN+\angle NOM=180°$ ；
（2） $FE·FN=FM·FO$

已知直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$( $t$为参数),以坐标原点为极点, $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C$的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta$.
（1）将曲线 $C$的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 $M$的直角坐标为 $\left(5,\sqrt{3}\right)$,直线 $l$与曲线 $C$的交点为 $A,B$,求 $\left|MA\right|·\left|MB\right|$的值.

设 $a>0,b>0$,且 $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
（1） $a+b\ge 2$；
（2） $a^2+a<2$与 $b^2+b<2$不可能同时成立.

设 $△ABC$的内角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c,a=b\tan A$，且 $B$为钝角.
（1）证明： $B-A=\frac{\pi }{2}$；
（2）求 $\sin A+sinC$的取值范围.

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为$X$，求$X$的分布列和数学期望.

如图,已知四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形, $A{A}_1=6$ ,且 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABCD$ ,点 $P,Q$ 分别在棱 $D{D}_1,BC$ 上.

（1）若 $P$ 是 $D{D}_1$ 的中点,证明: $A{B}_1=PQ$ ；
（2）若 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ ,二面角 $P-QD-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$ ,求四面体 $ADPQ$ 的体积.

已知抛物线 $C_1:x^2=4y$的焦点 $F$也是椭圆 $C_2:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个焦点， $C_1$与 $C_2$的公共弦的长为 $2\sqrt{6}$.
（1）求 $C_2$的方程；
（2）过点 $F$的直线 $l$与 $C_1$相交于 $A,B$两点，与 $C_2$相交于 $C,D$两点，且 $\stackrel{\to }{AC}$与 $\stackrel{\to }{BD}$同向
（ⅰ）若 $\left|AC\right|=\left|BD\right|$，求直线 $l$的斜率
（ⅱ）设 $C_1$在点 $A$处的切线与 $x$轴的交点为 $M$，证明：直线 $l$绕点 $F$旋转时， $△MFD$总是钝角三角形

已知$a>0$，函数$f\left(x\right)=e^x\sin x\left(x\in [0,+\infty )\right)$，记$x_n$为$f\left(x\right)$的从小到大的第$n$($n\in N_{+}$)个极值点，证明：
（1）数列$\left\{f\left(x_n\right)\right\}$是等比数列
（2）若$a\ge \frac{1}{\sqrt{e^2-1}}$，则对一切$n\in N^{*}$，$x_n<\left|f\left(x_n\right)\right|$恒成立.