2007年全国统一高考理科数学试卷（安徽卷）

下列函数中，反函数是其自身的函数为（）

设 $l,m,n$均为直线，其中 $m,n$在平面 $\alpha$内，" $l\perp \alpha$"是" $l\perp m$且 $l\perp n$"的（）

若对任意 $x\in R$R,不等式 $\left|x\right|\ge ax$恒成立，则实数 $a$的取值范围是

若 $a$为实数， $\frac{2+ai}{1+\sqrt{2}i}=-\sqrt{2}i$，则 $a$等于

若 $A=\left\{\overline{)x\in Z}2\le 2^{2-x}<8\right\},B=\left\{\overline{)x\in R}\left|{\log }_{2}x\right|>1\right\}$，则 $A\cap \left(C_{R}B\right)$的元素个数为（）

函数 $f\left(x\right)=3\sin (2x-\frac{\pi }{3})$的图象为 $C$ ①图象 $C$关于直线 $x=\frac{11}{12}\pi$对称;
②函数 $f\left(x\right)$在区间 $(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12})$内是增函数;
③由 $y=3\sin 2x$的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$个单位长度可以得到图象 $C$.
以上三个论断中正确论断的个数为（）

如果点 $P$在平面区域 $\left\{\begin{array}{c}2x-y+2\ge 0\\ x-2y+1\le 0\\ x+y-2\le 0\end{array}\right.$上，点 $Q$在曲线 $x^2+{\left(y+2\right)}^2=1$上，那么 $\left|PQ\right|$的最小值为（）

半径为1的球面上的四点 $A,B,C,D$是正四面体的顶点，则 $A$与 $B$两点间的球面距离为（）

如图， $F_1$ 和 $F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$ 的两个焦点， $A$ 和 $B$ 是以 $O$ 为圆心，以 $\left|O{F}_1\right|$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $△F_{2}AB$ 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

以 $\varphi \left(x\right)$表示标准正态总体在区间 $\left(-\infty ,x\right)$内取值的概率，若随机变量 $\xi$服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，则概率 $P\left(\left|\xi -\mu \right|<\sigma \right)$等于（）

定义在 $R$上的函数 $f\left(x\right)$既是奇函数，又是周期函数， $T$是它的一个正周期.若将方程 $f\left(x\right)=0$在闭区间 $[-T,T]$上的根的个数记为 $n$，则 $n$可能为

若 $(2x^3+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^n$的展开式中含有常数项，则最小的正整数 $n$等于.

在四面体 $O-ABC$中, $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}=\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{OC}=\stackrel{\rightharpoonup }{c},D$为 $BC$的中点, $E$为 $AD$的中点,则 $\stackrel{\rightharpoonup }{OE}=$(用 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}$表示).

如图,抛物线 $y=-x^2+1$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$ ,将线段 $OA$ 的 $n$ 等分点从左至右依次记为 $P_1,P_2,\cdots ,P_{n-1}$ ,过这些分点分别作 $x$ 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_{n-1}$ ,从而得到 $n-1$ 个直角三角形 $∆Q_{1}O{P}_1,∆Q_2{P}_1{P}_2,\cdots ,∆Q_{n-1}{P}_{n-1}{P}_{n-1}$ ,当 $n\to \infty$ 时，这些三角形的面积之和的极限为   .

在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.

已知0＜a＜的最小正周期， $\mathrm{向量}a=（\tan （\alpha +\beta /4），-1),\mathrm{向量}b=（\cos \alpha ，2），\mathrm{且向量}a\times \mathrm{向量}b=m，$求 $\frac{2{\cos }^2\alpha +\sin 2\left(\alpha +\beta \right)}{\cos \alpha -\sin \alpha }$.

如图，在六面体 $ABCD－A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为2的正方形，四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为1的正方形， $D{D}_1\perp \mathrm{平面}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ ， $D{D}_1\perp \mathrm{平面}ABCD$ ， $D{D}_1＝2$ .

（Ⅰ）求证： $A_1{C}_1与AC$ 共面， $B_1{D}_1与BD$ 共面；
（Ⅱ）求证： $\mathrm{平面}{A}_{1}AC{C}_1\perp \mathrm{平面}{B}_{1}BD{D}_1$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A－B{B}_1－C$ 的大小（用反三角函数值表示）.

设 $a\ge 0,f\left(x\right)=x-1-{\ln }^{2}x+2a\ln x\left(x>0\right)$.

（Ⅰ）令 $F\left(x\right)=x{f}^{`}\left(x\right)$,讨论 $F\left(x\right)$在 $\left(0,+\infty \right)$内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证:当 $x>1$时,恒有 $x>{\ln }^{2}x-2a\ln x+1$.

如图，曲线 $G$ 的方程为 $y^2=2x(y\ge 0)$ .以原点为圆心，以 $t(t>0)$ 为半径的圆分别与曲线 $G$ 和 $y$ 轴的正半轴相交于点 $A$ 与点 $B$ .直线 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ .

（Ⅰ）求点 $A$ 的横坐标 $a$ 与点 $C$ 的横坐标 $c$ 的关系式；
（Ⅱ）设曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $a+2$ ，求证：直线 $CD$ 的斜率为定值.

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以 $\xi$表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（Ⅰ）写出 $\xi$的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望 $E\xi$；
（Ⅲ）求概率 $P(\xi \ge E\xi )$.

某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 $a_1$，以后每年交纳的数目均比上一年增加 $d\left(d>0\right)$，因此，历年所交纳的储务金数目 $a_1$， $a_2$，…是一个公差为 $d$的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为 $r\left(r>0\right)$，那么，在第 $n$年末，第一年所交纳的储备金就变为 $a_1$ ${\left(1+r\right)}^{a-1}$，第二年所交纳的储备金就变为 $a_2$ ${\left(1+r\right)}^{a-2}$，……，以 $T_n$表示到第 $n$年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出 $T_n$与 $T_n-1$ $\left(n⩾2\right)$的递推关系式；
（Ⅱ）求证： $T_n=A_n+B_n$，其中 $\left\{A_n\right\}$是一个等比数列， $\left\{B_n\right\}$是一个等差数列.