全国普通高等学校招生统一考试理科数学

已知集合$A=\left\{\overline{)x}{x}^2-2x-3\ge 0\right\},B=\left\{\overline{)x}-2\le x<2\right\}$，则$A\cap B=$（）

$\frac{{\left(1+i\right)}^3}{{\left(1-i\right)}^2}=$（）

设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$的定义域为$R$，且$f\left(x\right)$是奇函数，$g\left(x\right)$是偶函数，则下列结论中正确的是（   ）

已知$F$为双曲线$C$:$x^2-m{y}^2=3m(m>0)$的一个焦点，则点$F$到$C$的一条渐近线的距离为（  ）

4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）

如图，图$O$的半径为1，$A$是圆上的定点，$P$是圆上的动点，角$x$的始边为射线$OA$，终边为射线$OP$，过点$P$作直线$OA$的垂线，垂足为$M$，将点$M$到直线$OP$的距离表示成$x$的函数$f\left(x\right)$，则$y=f\left(x\right)$在$[0,\pi ]$的图像大致为（）

执行右面的程序框图，若输入的$a,b,k$分别为1，2，3，则输出的$M=$（）

设 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}),\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$且 $\tan \alpha =\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$则（   ）

不等式组$\{\begin{array}{c}x+y\ge 1\\ x-2y\le 4\end{array}$的解集为$D$,有下面四个命题：
$p_1:\forall (x,y)\in D,x+2y\ge -2$，  $p_2:\exists (x,y)\in D,x+2y\ge 2$，
$p_3:\forall (x,y)\in D,x+2y\le 3$    $p_4:\exists (x,y)\in D,x+2y\le -1$，
其中的真命题是（   ）

已知抛物线$C:y^2=8x$的焦点为$F$，准线为$l$，$P$是$l$上一点，$Q$是直线$PF$与$C$得一个焦点，若$\underset{PF}{\to }=4\underset{FQ}{\to }$，则$\left|QF\right|=$

已知函数$f\left(x\right)=a{x}^3-3x^2+1$，若$f\left(x\right)$存在唯一的零点$x_0$，且$x_0>0$，则$a$的取值范围是（）

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（  ）

$\left(x-y\right){\left(x+y\right)}^8$的展开式中$x^2{x}^7$的系数为.（用数字填写答案）

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过$A,B,C$三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过$B$城市；
乙说：我没去过$C$城市.
丙说：我们三个去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为.

已知 $A,B,C$为圆 $O$上的三点，若 $\stackrel{\to }{AO}=\frac{1}{2}(\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{AC})$，则 $\stackrel{\to }{AB}$与 $\stackrel{\to }{AC}$的夹角为．

已知 $a,b,c$分别为 $∆ABC$三个内角 $A,B,C$的对边, $a=2$,且 $\left(2+b\right)\left(\sin A-\sin B\right)=\left(c-b\right)\sin C$,则 $∆ABC$面积的最大值为．

已知数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_1=1$，$a_n\ne 0$，$a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$，其中$\lambda$为常数，
（I）证明：$a_{n+2}-a_n=\lambda$；
（II）是否存在$\lambda$，使得$\left\{a_n\right\}$为等差数列？并说明理由.

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值$\overline{x}$和样本方差$s^2$（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标$Z$服从正态分布，其中$\mu$近似为样本平均数$\overline{x}$，近似为样本方差$s^2$.
（i）利用该正态分布，求$P(187.8<Z<212.2)$；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记$X$表示这100件产品中质量指标值位于区间$\left(187.8,212.2\right)$的产品件数.利用（i）的结果，求$EX$.
附：$\sqrt{150}\approx 12.2$

若则，。

如图，三棱柱$ABC-A_1{B}_1{C}_1$中，侧面$B{B}_1{C}_{1}C$为菱形，$AB\perp B_{1}C$.

（Ⅰ）证明：$AC=A{B}_1$;
（Ⅱ）若$AC\perp A{B}_1$，$\angle CB{B}_1=60°$,$AB=BC$,求二面角$A-A_1{B}_1-C_1$的余弦值.

已知点$A\left(0,-2\right)$,椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$F$是椭圆$E$的右焦点，直线$AF$的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$O$为坐标原点.
（I）求$E$的方程；
（II)设过点$A$的动直线$l$与$E$相交于$P,Q$两点.当$∆OPQ$的面积最大时，求$l$的直线方程.

设函数 $f\left(x\right)=a{e}^x\ln x+\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程为 $y=e(x-1)+2$.

（I）求 $a,b$;

（II）证明： $f\left(x\right)>1$.

如图，四边形$ABCD$是圆$O$的内接四边形，$AB$的延长线与$DC$的延长线交于点$E$，且$CB=CE$.

（Ⅰ）证明：$\angle D=\angle E$；
（Ⅱ）设$AD$不是圆$O$的直径，$AD$的中点为$M$，且$MB=MC$，证明：$△ADE$为等边三角形.

已知曲线 $C_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线 $l:\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=2-2t\end{array}$（ $t$为参数）.
（I）写出曲线 $C$的参数方程，直线 $l$的普通方程；
（II）过曲线 $C$上任意一点 $P$作与 $l$夹角为 ${30}^{°}$的直线，交 $l$于点 $A$， $\left|PA\right|$的最大值与最小值．

若$a>0,b>0$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$.
（Ⅰ）求$a^3+b^3$的最小值；
（Ⅱ）是否存在$a,b$,使得$2a+3b=6$？并说明理由.