初中数学矩形的性质试题

如图是由小正方形组成的 $5\times 7$网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中，先在边 $\mathit{AB}$上画点 $E$，使 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$，再过点 $E$画直线 $\mathit{EF}$，使 $\mathit{EF}$平分矩形 $\mathit{ABCD}$的面积；

（2）在图（2）中，先画 $\mathit{\Delta BCD}$的高 $\mathit{CG}$，再在边 $\mathit{AB}$上画点 $H$，使 $\mathit{BH}=\mathit{DH}$．

如图， $O$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$的中点， $M$是 $\mathit{AD}$的中点．若 $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AD}=12$，则四边形 $\mathit{ABOM}$的周长为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．

如图， $\mathit{AC}$ 为矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线，已知 $\mathit{AD}=3$ ， $\mathit{CD}=4$ ，点 $P$ 沿折线 $C-A-D$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到 $D$ 点停止），过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{\Delta CPE}$ 的面积 $y$ 与点 $P$ 运动的路程 $x$ 间的函数图象大致是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $O$，且 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$， $\mathit{AE}//\mathit{BD}$，连接 $\mathit{OE}$．求证： $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$．

如图所示，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=6$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是矩形的边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，将该纸片沿直线 $\mathit{EF}$ 折叠．使点 $B$ 落在矩形边 $\mathit{AD}$ 上，对应点记为点 $G$ ，点 $A$ 落在 $M$ 处，连接 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{BG}$ 、 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BG}$ 交于点 $N$ ．则下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

① $\mathit{BN}=\mathit{AB}$ ；

②当点 $G$ 与点 $D$ 重合时， $\mathit{EF}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ ；

③ $\mathit{\Delta GNF}$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $\frac{9}{4}⩽S⩽\frac{7}{2}$ ；

④当 $\mathit{CF}=\frac{5}{2}$ 时， $S_{\mathit{\Delta MEG}}=\frac{3\sqrt{13}}{4}$ ．

A．

①③

B．

③④

C．

②③

D．

②④

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿某直线折叠，使点 $B$与点 $D$重合，折痕与直线 $\mathit{AD}$交于点 $E$，且 $\mathit{DE}=3\mathit{cm}$，则矩形 $\mathit{ABCD}$的面积为 　　 $c{m}^2$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，将此矩形折叠，使点 $C$与点 $A$重合，点 $D$落在点 $D\text{'}$处，折痕为 $\mathit{EF}$，则 $\mathit{AD}\text{'}$的长为 　　， $\mathit{DD}\text{'}$的长为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$在 $\mathit{DC}$上， $\mathit{AM}=\mathit{AB}$，且 $\mathit{BN}\perp \mathit{AM}$，垂足为 $N$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABN}\cong \mathit{\Delta MAD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{AN}=4$，求四边形 $\mathit{BCMN}$的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别为 $\mathit{BC}$， $\mathit{DA}$的中点，以 $\mathit{CD}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{GCD}$， $\mathit{GD}=\mathit{GC}$，连接 $\mathit{GE}$， $\mathit{GF}$．若 $\mathit{BC}=2\mathit{GC}$，则 $\angle \mathit{EGF}=$　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$是对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{CE}$，若 $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{2}$，则 $\tan \angle \mathit{DEC}$的值是 　　．

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点， $\angle \mathit{AED}=90°$， $\angle \mathit{EAD}=30°$， $F$是 $\mathit{AD}$边的中点， $\mathit{EF}=4\mathit{cm}$，则 $\mathit{BE}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的动点，点 $E$不与 $A$， $B$重合，且 $\mathit{EF}=\mathit{AB}$， $G$是五边形 $\mathit{AEFCD}$内满足 $\mathit{GE}=\mathit{GF}$且 $\angle \mathit{EGF}=90°$的点．现给出以下结论：

① $\angle \mathit{GEB}$与 $\angle \mathit{GFB}$一定互补；

②点 $G$到边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的距离一定相等；

③点 $G$到边 $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$的距离可能相等；

④点 $G$到边 $\mathit{AB}$的距离的最大值为 $2\sqrt{2}$．

其中正确的是 　     　．（写出所有正确结论的序号）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$上， $\mathit{AF}=\mathit{EC}$．只需添加一个条件即可证明四边形 $\mathit{AECF}$是菱形，这个条件可以是　　（写出一个即可）．