初中数学圆周角定理试题

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{AD}=4$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，求 $\mathit{HF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ，点 $C$ 是 $\odot O$ 上的一个动点，且 $\angle \mathit{ACB}=60°$ ，若点 $M$ ， $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 　　．

如图，点 $C$ ， $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆上，且 $\angle \mathit{ADC}=120°$ ，点 $E$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$ 上任意一点，连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{CE}$ ．则 $\angle \mathit{BEC}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$20°$

B．

$30°$

C．

$40°$

D．

$60°$

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 直径，点 $C$ ， $D$ 为 $\odot O$ 上的两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ， $\odot O$ 的切线 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{BD}$ 延长线相交于点 $F$ ， $A$ 为切点．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{AE}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长．

如图， $\odot O$ 中，点 $C$ 为弦 $\mathit{AB}$ 中点，连接 $\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}$ ， $\angle \mathit{COB}=56°$ ，点 $D$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上任意一点，则 $\angle \mathit{ADB}$ 度数为 $($ 　　 $)$

A．

$112°$

B．

$124°$

C．

$122°$

D．

$134°$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到点 $D$ ，以 $\mathit{AD}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{BA}$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $F$ ，使 $\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OC}=9$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{AE}=8$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，以 $\mathit{AB}$ 为直径的圆经过点 $C$ 和点 $D$ ，则 $\tan \angle \mathit{ADC}=$ 　　．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AD}$ 为直径，点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ECB}$ ；

（2）若 $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\angle \mathit{CAD}=30°$ ，连接 $\mathit{OC}$ ，如图2．

①请判断四边形 $\mathit{ABCO}$ 的形状，并说明理由；

②当 $\mathit{AB}=2$ 时，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 围成阴影部分的面积．

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $\mathit{BC}=2$，使用作图工具作 $\angle \mathit{BAC}=30°$，尝试操作后思考： （1）这样的点 $A$唯一吗？ （2）点 $A$的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$的位置不唯一，它在以 $\mathit{BC}$为弦的圆弧上（点 $B$、 $C$除外）， $\dots$．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为 　　；

② $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值为 　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A\text{'}$，请你根据图1证明 $\angle \mathit{BA}\text{'}C>30°$．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的边长 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在直线 $\mathit{CD}$的左侧，且 $\tan \angle \mathit{DPC}=\frac{4}{3}$．

①线段 $\mathit{PB}$长的最小值为 　　；

②若 $S_{\mathit{\Delta PCD}}=\frac{2}{3}{S}_{\mathit{\Delta PAD}}$，则线段 $\mathit{PD}$长为 　　．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ， $\mathit{PB}$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{PBA}=\angle \mathit{OBC}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{PBA}=20°$ ， $\angle \mathit{ACD}=40°$ ，求证： $\mathit{\Delta OAB}\backsim \mathit{\Delta CDE}$ ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle A=32°$ ，点 $B$ 、 $C$ 在 $\odot O$ 上，边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 分别交 $\odot O$ 于 $D$ 、 $E$ 两点，点 $B$ 是 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的中点，则 $\angle \mathit{ABE}=$ 　　．

如图，已知 $P$ 是 $\odot O$ 外一点．用两种不同的方法过点 $P$ 作 $\odot O$ 的一条切线．

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CBA}=30°$ ， $\mathit{AC}=1$ ， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 不重合）．若在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点 $A$ 、 $D$ 成为直角三角形的三个顶点，则 $\mathit{AD}$ 长的取值范围是 　　．