高中数学解答题

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面；
（2）平面．

选修4-1：几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至， 延长交的延长线于．

（1）求证：；
（2）求证：．

已知椭圆C：的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线与椭圆C的两个交点，问：在轴上是否存在定点E，使得为定值?若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且．

（1）求证：平面 ；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） ．
附表及公式

选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为 （为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．
（2）若直线的极坐标方程为 ，求直线被曲线截得的弦长．

已知函数（）．
（1）若，当时，求的单调递减区间；
（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：

年份x	2011	2012	2013	2014	2015
储蓄存款y（千亿元）	5	6	7	8	10

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：

时间代号t	1	2	3	4	5
z	0	1	2	3	5

（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程，其中）

如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，点是中点，，．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）证明：．

已知等比数列的各项均为正数，，公比为；等差数列中，，且的前项和为，．
（1）求与的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．

给出定义在上的三个函数；，已知在处取最值．
（1）确定函数的单调性；
（2）求证：当时，恒有成立；
（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数，试确定函数的零点个数，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线互相垂直，且分别在轴和轴上．

（1）若四边形的面积为40，对角线的长为8，，且为锐角，求圆的方程，并求出的坐标；
（2）设四边形的一条边的中点为，，且垂足为，试用平面解析几何的研究方法判断点是否共线，并说明理由．

如图于，，，分别为的中点，若

（1）求证：；
（2）求的长．

如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：（1）；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．