高中数学解答题

已知实数 $a\ne 0$，设函数 $f\left(x\right)=a\mathit{ln}x+\sqrt{x+1},x>0.$

（1）当 $a=-\frac{3}{4}$时，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）对任意 $x\in [\frac{1}{e^2},+\infty )$均有 $f\left(x\right)\le \frac{\sqrt{x}}{2a},$ 求 $a$的取值范围.

注： $e=2.71828...$为自然对数的底数.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

（2） $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．

已知 $f\left(x\right)=|x-a|x+|x-2|(x-a).$

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)<0$的解集；

（2）若 $x\in (-\infty ,1)$时， $f\left(x\right)<0$，求 $a$的取值范围.

设 $x,y,z\in R$ ，且 $x+y+z=1$ .

（1）求 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值；

（2）若 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 成立，证明： $a\le -3$ 或 $a\ge -1$ .

已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $:x_1=1,x_n=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n\in {\mathbf{N}}^{*}\right)$.

证明: 当 $n\in {\mathbf{N}}^{*}$ 时,

( I ) $0<x_{n+1}<x_n$;

( II ) $2x_{n+1}-x_n⩽\frac{x_n{x}_{n+1}}{2}$;

( III ) $\frac{1}{2^{n-1}}⩽x_n⩽\frac{1}{2^{n-2}}$.

$\text{设数列 }\mathrm{A}:a_1,a_2,\dots a_N(N\ge )\text{.如果对小于 }n(2\le n\le N)$ ， $\text{的每个正整数}k\text{都有}{a}_k<a_n$ 则称 $n$ 是数列 $\mathrm{A}$ 的一个 " $\mathrm{G}$ 时刻" $，$ 记 $G\left(A\right)$ 是数列 $\mathrm{A}$ 的所有 " $\mathrm{G}$ 时刻" 组成的集合.

（1）对数列 A: $-2,2,-1,1,3$ , 写出 $G\left(A\right)$ 的所有元素;

（2）证明：若数列 $\mathrm{A}$ 中存在 $a_n$ 使得 $a_n>a_1$ , 则 $G\left(A\right)\ne \varnothing$ ;

（3）证明：若数列 $\mathrm{A}$ 满足 $a_n-a_{n-1}\le (n=2,3,\dots ，N)$ 则G（A）的元素个数小于 $a_N-a_1$ ；

已知 $f\left(x\right)=|x-a|x+|x-2|(x-a).$

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)<0$的解集；

（2）若 $x\in (-\infty ,1)$时， $f\left(x\right)<0$，求 $a$的取值范围.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

（2） $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．

设a，b，c $\in$R，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$．

设函数 $f\left(x\right)=x^3+\mathit{bx}+c$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点( $\frac{1}{2}$，f( $\frac{1}{2}$))处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若 $f\left(x\right)$有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f\left(x\right)$所有零点的绝对值都不大于1．

已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^{x-1}-\mathit{ln}x+\mathit{ln}a$．

（1）当 $a=e$时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-a^2\right|+|x-2a+1|$ .

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f\left(x\right)⩾4$ 的解集；

（2）若 $f\left(x\right)⩾4$ ，求 a的取值范围.

已知函数f(x)=sin²xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明： $\left|f\left(x\right)\right|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$；

（3）设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^n}{4^n}$.

如图，已知三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁的底面是正三角形，侧面 BB ₁ C ₁ C是矩形， M， N分别为 BC， B ₁ C ₁的中点， P为 AM上一点，过 B ₁ C ₁和 P的平面交 AB于 E，交 AC于 F.

（1）证明： AA ₁∥ MN，且平面 A ₁ AMN⊥ EB ₁ C ₁ F；

（2）设 O为△ A ₁ B ₁ C ₁的中心，若 AO∥平面 EB ₁ C ₁ F，且 AO= AB，求直线 B ₁ E与平面 A ₁ AMN所成角的正弦值.