初中数学矩形的性质试题

某校拟建一个面积为 $100m^2$ 的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整

（1）列式

设矩形的一边长是 $\mathit{xm}$ ，则另一边长是 　　 $m$ ，若周长为 $\mathit{ym}$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 　　

（2）画图

①列表

$x$	$\dots$	4	6	10	13	16	20	25	30	$\dots$
$y$	$\dots$	58	$45\frac{1}{3}$	40	$41\frac{5}{13}$	$44\frac{1}{2}$	$a$	58	$66\frac{2}{3}$	$\dots$

表中 $a=$ 　　

②描点：如图所示；

③连线：请在图中画出该函数的图象．

（3）发现

图象最低点的坐标为 　　，即当 $x=$ 　　 $m$ 时，周长 $y$ 有最小值 $40m$ ；

（4）验证

在张老师的指导下，同学们将 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式进行配方，得出 $y=2{(\sqrt{x}-\frac{10}{\sqrt{x}})}^2+40$ ．

$\because 2{(\sqrt{x}-\frac{10}{\sqrt{x}})}^2⩾0$

$\therefore y⩾$ 　　．

$\therefore$ 当 $\sqrt{x}-\frac{10}{\sqrt{x}}=0$ 时， $y$ 有最小值；

此方程可化为 ${\left(\sqrt{x}\right)}^2-10=0$ ；

$\therefore$ 当 $x=$ 　　 $m$ 时，周长 $y$ 有最小值 $40m$ ．

如图， $\mathit{BD}$ 是矩形 $\mathit{ABCD}$ 的一条对角线，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{DC}$ 的中点．若 $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ，则 $\mathit{AE}+\mathit{EF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

如图，在扇形中，．，分别是半径，上的点，以，为邻边的的顶点在上．若，，则阴影部分图形的面积是　　（结果保留．

如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．

（1）①的长为　　；

②的长用含的代数式表示为　　．

（2）当为矩形时，求的值；

（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；

（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．

如图，有一张矩形纸片，，．先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为　　．

如图，在矩形中，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线运动，在上的速度是，在上的速度是；点在上以的速度向终点运动，过点作，垂足为点．连接，以，为邻边作．设运动的时间为，与矩形重叠部分的图形面积为

（1）当时，　　；

（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；

（3）直线将矩形的面积分成两部分时，直接写出的值．

如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点（点在点的左侧），经过、两点的函数的图象记为，函数的图象记为，其中是常数，图象、合起来得到的图象记为．设矩形的周长为．

（1）当点的横坐标为时，求的值；

（2）求与之间的函数关系式；

（3）当与矩形恰好有两个公共点时，求的值；

（4）设在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出的取值范围．

如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到△的位置，使为中点，连接，，，，如图②．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）四边形的周长为　　；

（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

如图，在矩形中，，．矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形．若点的对应点落在边上，则的长为　　．

如图①，在中，，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒5个单位长度的速度运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．

（1）求线段的长；（用含的代数式表示）

（2）连结，当与的一边平行时，求的值；

（3）如图②，过点作于点，以，为邻边作矩形，点为的中点，连结．设矩形与重叠部分图形的面积为．①当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式；②直接写出将矩形分成两部分的面积比为时的值．

对于题目："如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 $n$ ．"甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 $x$ ，再取最小整数 $n$ ．

甲：如图2，思路是当 $x$ 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 $n=13$ ．

乙：如图3，思路是当 $x$ 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 $n=14$ ．

丙：如图4，思路是当 $x$ 为矩形的长与宽之和的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍时就可移转过去；结果取 $n=13$ ．

下列正确的是 $($ 　　 $)$

A．	甲的思路错，他的 $n$ 值对
B．	乙的思路和他的 $n$ 值都对
C．	甲和丙的 $n$ 值都对
D．	甲、乙的思路都错，而丙的思路对

如图，依据尺规作图的痕迹，计算　　．

如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为　　．

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：，　　　　．

易知，，　　　　，　　　　．

可得．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．