初中数学四边形综合题试题

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $\angle B=90°$，小明想从中剪出一个以 $\angle B$为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　．

（拓展应用）

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}=h$，矩形 $\mathit{PQMN}$的顶点 $P$、 $N$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上，顶点 $Q$、 $M$在边 $\mathit{BC}$上，则矩形 $\mathit{PQMN}$面积的最大值为　 　．（用含 $a$， $h$的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $\mathit{ABCDE}$， $\mathit{AB}=32$， $\mathit{BC}=40$， $\mathit{AE}=20$， $\mathit{CD}=16$，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\angle B$为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $\mathit{ABCD}$，经测量 $\mathit{AB}=50\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=108\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=60\mathit{cm}$，且 $\tan B=\tan C=\frac{4}{3}$，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$、 $N$在边 $\mathit{BC}$上且面积最大的矩形 $\mathit{PQMN}$，求该矩形的面积．

如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$， $\mathit{CD}$的垂直平分线交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DH}=4$， $\mathit{BF}:\mathit{FA}=1:5$．

（1）如图2，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$于点 $G$，交 $\mathit{DH}$于点 $M$，将 $\mathit{\Delta DGM}$沿 $\mathit{DC}$方向平移，得到△ $\mathit{CG}\text{'}M\text{'}$，连接 $M\text{'}B$．

①求四边形 $\mathit{BHMM}\text{'}$的面积；

②直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $N$，求 $\mathit{\Delta DNM}$周长的最小值．

（2）如图3，延长 $\mathit{CB}$交 $\mathit{EF}$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{QK}//\mathit{AB}$，过 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$作 $\mathit{PK}//\mathit{EF}$，并与 $\mathit{QK}$交于点 $K$，将 $\mathit{\Delta PKQ}$沿直线 $\mathit{PQ}$翻折，使点 $K$的对应点 $K\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AB}$上，求线段 $\mathit{CP}$的长．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，一个以点 $A$为顶点的 $45°$角绕点 $A$旋转，角的两边分别与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EF}$．设 $\mathit{CE}=a$， $\mathit{CF}=b$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{EAF}$被对角线 $\mathit{AC}$平分时，求 $a$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta AEF}$是直角三角形时，求 $a$、 $b$的值；

（3）如图3，探索 $\angle \mathit{EAF}$绕点 $A$旋转的过程中 $a$、 $b$满足的关系式，并说明理由．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $O$是 $\mathit{BC}$边的中点，点 $E$是正方形内一动点， $\mathit{OE}=2$，连接 $\mathit{DE}$，将线段 $\mathit{DE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $A$， $E$， $O$三点共线，连接 $\mathit{OF}$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

（3）求线段 $\mathit{OF}$长的最小值．

（1）阅读材料：

教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为　　，故沿虚线 $\mathit{AB}$剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．

（2）类比解决：

如图2，已知边长为2的正三角形纸板 $\mathit{ABC}$，沿中位线 $\mathit{DE}$剪掉 $\mathit{\Delta ADE}$，请把纸板剩下的部分 $\mathit{DBCE}$剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．

①拼成的正三角形边长为　　；

②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．

（3）灵活运用：

如图3，把一边长为 $60\mathit{cm}$的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中 $\angle \mathit{BCD}=90°$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{BC}$分别与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$交于点 $E$、 $F$，点 $E$、 $F$分别为 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$的中点，在线段 $\mathit{AC}$和 $\mathit{EF}$处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

（1）如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAD}$的平分线，试判断 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，易证 $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta FEC}$得到 $\mathit{AB}=\mathit{FC}$，从而把 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$转化在一个三角形中即可判断．

$\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $F$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAF}$的平分线，试探究 $\mathit{AB}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{CF}$之间的等量关系，并证明你的结论．

如图，点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$延长线上的一点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PA}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BP}$于点 $F$，则下列结论中：

① $\mathit{PA}=\mathit{PE}$；② $\mathit{CE}=\sqrt{2}\mathit{PD}$；③ $\mathit{BF}-\mathit{PD}=\frac{1}{2}\mathit{BD}$；④ $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S_{\mathit{\Delta ADP}}$

正确的是　　（填写所有正确结论的序号）

如图， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线， $D$是线段 $\mathit{AM}$上一点（不与点 $A$重合）． $\mathit{DE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{CE}//\mathit{AM}$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$与 $M$重合时，求证：四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形；

（2）如图2，当点 $D$不与 $M$重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，若 $\mathit{BH}\perp \mathit{AC}$，且 $\mathit{BH}=\mathit{AM}$．

①求 $\angle \mathit{CAM}$的度数；

②当 $\mathit{FH}=\sqrt{3}$， $\mathit{DM}=4$时，求 $\mathit{DH}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，连接 $\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\alpha$得 $\mathit{\Delta AEF}$，连接 $\mathit{CF}$， $O$为 $\mathit{CF}$的中点，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OD}$．

（1）如图1，当 $\alpha =45°$时，请直接写出 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OD}$的关系（不用证明）．

（2）如图2，当 $45°<\alpha <90°$时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当 $\alpha =360°$时，若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，请直接写出点 $O$经过的路径长．

如图1，2，3分别以 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$为边向 $\mathit{\Delta ABC}$外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形， $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）在图1中，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADC}$．

（2）由（1）证得 $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADC}$，由此可推得在图1中 $\angle \mathit{BOC}=120°$，请你探索在图2中， $\angle \mathit{BOC}$的度数，并说明理由或写出证明过程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中 $\angle \mathit{BOC}=$　 　（填写度数）．

（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$为边向 $\mathit{\Delta ABC}$外作正 $n$边形， $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$仍相交于点 $O$，猜想得 $\angle \mathit{BOC}$的度数为　 　（用含 $n$的式子表示）．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为6的正方形，点 $E$在边 $\mathit{AB}$上， $\mathit{BE}=4$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，分别交 $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$于 $G$， $F$两点．若 $M$， $N$分别是 $\mathit{DG}$， $\mathit{CE}$的中点，则 $\mathit{MN}$的长为 $($　　 $)$

A．3B． $2\sqrt{3}$C． $\sqrt{13}$D．4

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．

（1）如图1， $E$， $G$分别是 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{CE}$与 $\mathit{DG}$的延长线相交于点 $F$．若 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$，求证： $\mathit{OE}=\mathit{OG}$；

（2）如图2， $H$是 $\mathit{BC}$上的点，过点 $H$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{BC}$，交线段 $\mathit{OB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DH}$交 $\mathit{CE}$于点 $F$，交 $\mathit{OC}$于点 $G$．若 $\mathit{OE}=\mathit{OG}$，

①求证： $\angle \mathit{ODG}=\angle \mathit{OCE}$；

②当 $\mathit{AB}=1$时，求 $\mathit{HC}$的长．

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ACD}$．并且量得 $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=4\mathit{cm}$．

操作发现：

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转 $\angle \alpha$，使 $\angle \alpha =\angle \mathit{BAC}$，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，过点 $C$作 $\mathit{AC}\text{'}$的平行线，与 $D{C}^{\text{'}}$的延长线交于点 $E$，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$的形状是　　．

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 $B$、 $A$、 $D$三点在同一条直线上，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，连接 $C{C}^{\text{'}}$，取 $\mathit{CC}\text{'}$的中点 $F$，连接 $\mathit{AF}$并延长至点 $G$，使 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$，连接 $\mathit{CG}$、 $C\text{'}G$，得到四边形 $\mathit{ACGC}\text{'}$，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BD}$方向平移，使点 $B$与点 $A$重合，此时 $A$点平移至 $A^{\text{'}}$点， $A^{\text{'}}C$与 $\mathit{BC}\text{'}$相交于点 $H$，如图4所示，连接 $\mathit{CC}\text{'}$，试求 $\tan \angle C\text{'}\mathit{CH}$的值．

菱形 $\mathit{ABCD}$中、 $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $O$为射线 $\mathit{CA}$ 上的动点，作射线 $\mathit{OM}$与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转 $60°$，得到射线 $\mathit{ON}$，射线 $\mathit{ON}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）如图①，点 $O$与点 $A$重合时，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，请直接写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点 $O$在 $\mathit{CA}$的延长线上，且 $\mathit{OA}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$的延长线和线段 $\mathit{CD}$的延长线上，请写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点 $O$在线段 $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BO}=2\sqrt{7}$，当 $\mathit{CF}=1$时，请直接写出 $\mathit{BE}$的长．