如图,为半圆的直径,点为半圆上任一点.
(1)若,过点作半圆的切线交直线于点.求证:;
(2)若,过点作的平行线交半圆于点.当以点,,,为顶点的四边形为菱形时,求的长.
如图,四边形是正方形,以边为直径作,点在边上,连结交于点,连结并延长交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求劣弧的长.(结果保留
如图是由边长为1的小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点,,,均在格点上,在网格中将点按下列步骤移动:
第一步:点绕点顺时针旋转得到点;
第二步:点绕点顺时针旋转得到点;
第三步:点绕点顺时针旋转回到点.
(1)请用圆规画出点经过的路径;
(2)所画图形是 对称图形;
(3)求所画图形的周长(结果保留.
如图1和2,中,,,.点为延长线上一点,过点作切于点,设.
(1)如图1,为何值时,圆心落在上?若此时交于点,直接指出与的位置关系;
(2)当时,如图2,与交于点,求的度数,并通过计算比较弦与劣弧长度的大小;
(3)当与线段只有一个公共点时,直接写出的取值范围.
如图,点在数轴上对应的数为26,以原点为圆心,为半径作优弧,使点在右下方,且,在优弧上任取一点,且能过作直线交数轴于点,设在数轴上对应的数为,连接.
(1)若优弧上一段的长为,求的度数及的值;
(2)求的最小值,并指出此时直线与所在圆的位置关系;
(3)若线段的长为12.5,直接写出这时的值.
如图,,为中点,点在线段上(不与点,重合),将绕点逆时针旋转后得到扇形,,分别切优弧于点,,且点,在异侧,连接.
(1)求证:;
(2)当时,求的长(结果保留;
(3)若的外心在扇形的内部,求的取值范围.
在中,,分别是两边的中点,如果上的所有点都在的内部或边上,则称为的中内弧.例如,图1中是的一条中内弧.
(1)如图2,在中,,,分别是,的中点,画出的最长的中内弧,并直接写出此时的长;
(2)在平面直角坐标系中,已知点,,,,在中,,分别是,的中点.
①若,求的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围;
②若在中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心在的内部或边上,直接写出的取值范围.
如图,半圆 的直径 ,以长为2的弦 为直径,向点 方向作半圆 ,其中 点在 上且不与 点重合,但 点可与 点重合.
发现: 的长与 的长之和为定值 ,求
思考:点 与 的最大距离为 ,此时点 , 间的距离为 ;
点 与 的最小距离为 ,此时半圆 的弧与 所围成的封闭图形面积为 ;
探究:当半圆 与 相切时,求 的长.
(注:结果保留 , ,
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