初中数学计算题

（1）解方程： $\frac{2x}{x-2}=\frac{3}{x-2}+1$；

（2）解不等式： $4(x-1)-\frac{1}{2}<x$

（1）计算： ${(\sqrt{2}-2)}^0+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}-2\cos 60°$；

（2）化简： $(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{x}{x^2-1}$．

如图，平面内的两条直线 $l_1$、 $l_2$，点 $A$， $B$在直线 $l_1$上，点 $C$、 $D$在直线 $l_2$上，过 $A$、 $B$两点分别作直线 $l_2$的垂线，垂足分别为 $A_1$， $B_1$，我们把线段 $A_1{B}_1$叫做线段 $\mathit{AB}$在直线 $l_2$上的正投影，其长度可记作 $T_{(\mathit{AB},\mathit{CD})}$或 $T_{(\mathit{AB},l_2)}$，特别地线段 $\mathit{AC}$在直线 $l_2$上的正投影就是线段 $A_{1}C$．

请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图1，在锐角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=3$，则 $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=$　    　；

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=4$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=9$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）如图3，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=60°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\angle \mathit{ACD}=90°$， $T_{(\mathit{AD},\mathit{AC})}=2$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=6$，求 $T_{(\mathit{BC},\mathit{CD})}$，

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，过点 $O$作 $\mathit{OC}\perp \mathit{OA}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于 $P$， $\mathit{CP}=\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\angle \mathit{BAO}=25°$，点 $Q$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AmB}}$上的一点．

①求 $\angle \mathit{AQB}$的度数；

②若 $\mathit{OA}=18$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AmB}}$的长．

“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？

解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}4(x+1)⩽7x+13\\ x-4<\frac{x-8}{3}\end{array}\right.$，并写出它的所有负整数解．

计算或化简：

（1） $\sqrt{8}-{(3-\pi )}^0-4\cos 45°$；

（2） $\frac{a^2}{a-1}+\frac{1}{1-a}$．

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．

（生活观察）甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：

第一次：

	菜价3元 $/$千克
	质量	金额
甲	1千克	3元
乙	1千克	3元

第二次：

	菜价2元 $/$千克
	质量	金额
甲	1千克	元
乙	千克	3元

（1）完成上表；

（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价 $=$总金额 $÷$总质量）

（数学思考）设甲每次买质量为 $m$千克的菜，乙每次买金额为 $n$元的菜，两次的单价分别是 $a$元 $/$千克、 $b$元 $/$千克，用含有 $m$、 $n$、 $a$、 $b$的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价 $\overline{x_{甲}}$、 $\overline{x_{乙}}$，比较 $\overline{x_{甲}}$、 $\overline{x_{乙}}$的大小，并说明理由．

（知识迁移）某船在相距为 $s$的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为 $v$，所需时间为 $t_1$；如果水流速度为 $p$时 $(p<v)$，船顺水航行速度为 $(v+p)$，逆水航行速度为 $(v-p)$，所需时间为 $t_2$．请借鉴上面的研究经验，比较 $t_1$、 $t_2$的大小，并说明理由．

体育器材室有 $A$、 $B$两种型号的实心球，1只 $A$型球与1只 $B$型球的质量共7千克，3只 $A$型球与1只 $B$型球的质量共13千克．

（1）每只 $A$型球、 $B$型球的质量分别是多少千克？

（2）现有 $A$型球、 $B$型球的质量共17千克，则 $A$型球、 $B$型球各有多少只？

在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．

（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是　      　．

（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）

如图，一次函数 $y=x+1$的图象交 $y$轴于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于点 $B(m,2)$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}x+1>2,\\ 2x+3⩾\frac{1}{2}x.\end{array}\right.$

计算： $|-2|+{(\sin 36°-\frac{1}{2})}^0-\sqrt{4}+\tan 45°$．

如图，平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A$、 $B$分别在 $y$轴、 $x$轴的正半轴上． $\mathit{\Delta AOB}$的两条外角平分线交于点 $P$， $P$在反比例函数 $y=\frac{9}{x}$的图象上． $\mathit{PA}$的延长线交 $x$轴于点 $C$， $\mathit{PB}$的延长线交 $y$轴于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求 $\angle P$的度数及点 $P$的坐标；

（2）求 $\mathit{\Delta OCD}$的面积；

（3） $\mathit{\Delta AOB}$的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．