广东省惠州市高三第三次调研理科数学试卷

若集合，，则（   ）．

A．

B．

C．

D．

下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为（   ）．

A．

B．

C．

D．

“”是“”成立的（   ）条件．

设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则此双曲线的离心率为（   ）．

A．

B．

C．

D．

空间中，对于平面和共面的两直线、，下列命题中为真命题的是（   ）．

A．若，，则

B．若，，则

C．若、与所成的角相等，则

D．若，，则

某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为（   ）．

数列，满足对任意的，均有为定值．若，则数列的前100项的和（   ）．

在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：
（1）若，，则的最大值为；
（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；
（3）若，点为直线上的动点，则的最小值为．
其中为真命题的是（   ）．

某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．

已知，，，若，则实数______．

已知复数 （），若，则实数的值为__________．

已知，使不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△内，则这粒黄豆落在△内的概率为__________．

（坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数）．若直线与圆C有公共点，则实数a的取值范围是__________．

（几何证明选讲选做题）如图，点都在圆O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，，，则线段AC的长为__________．

（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）已知横坐标分别为、、的三点都在函数的图像上，求的值．

（本小题满分12分） 惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到个新球的概率．
参考公式：互斥事件加法公式：（事件与事件互斥）．
独立事件乘法公式：（事件与事件相互独立）．
条件概率公式：．

（本小题满分14分）三棱柱的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．

（本小题满分14分）
已知数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，是否存在，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．

（本小题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求的值；
（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．

（本小题满分14分）已知函数，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）设，求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在个数使得不等式成立，求的最大值．