上海市闸北区高三下学期期中练习（二模）理科数学试卷

设幂函数的图像经过点，则函数的奇偶性为____________．

设复数，在复平面的对应的向量分别为，则向量对应的复数所对应的点的坐标为____________． 

已知定义域为的函数的图像关于点对称，是的反函数，若，则___________．

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，其中．已知投篮一次得分的期望是2，则的最大值是____________．

设 数列的前项和为，则___________．

设函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____________．

若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．

从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____________．

已知集合，，，现给出下列函数：①；② ；③；④．若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是___________．

把正整数排列成如图的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图的三角形数阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则

下列命题中，正确的个数是
（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；
（2）、为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个；
（3）直四棱柱是直平行六面体；
（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．

在极坐标系中，关于曲线的下列判断中正确的是

A．曲线关于直线对称	B．曲线关于直线对称
C．曲线关于点对称	D．曲线关于极点对称

已知是正三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是

A．

B．

C．

D．

（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上不与点重合的任意一点，，，．

（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）
如图所示，某市拟在长为道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，且．

（1）求、两点间的直线距离；
（2）求折线段赛道长度的最大值．

（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）
已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换．
（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；
，；
，．
（2）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，那么“”是否为“是的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；
（3）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值．

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；
（3）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围．