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2015年全国统一高考理科数学试卷(上海卷)

设全集 U = R .若集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 B = x 2 x 3 ,则 A C U B =

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若复数 z 满足 3 z + z = 1 + i ,其中 i 为虚数单位,则 z =

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若线性方程组的增广矩阵为 2 3 c 1 0 1 c 2 、解为 x = 3 y = 5 ,则 c 1 - c 2 =

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若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为 16 3 ,则 a =

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抛物线 y 2 = 2 p x ( p > 0 ) )上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1,则 p =

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若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 π ,则其母线与轴的夹角的大小为

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方程 log 2 9 x - 1 - 5 = log 2 3 x - 1 - 2 + 2 的解为

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在报名的名男教师和名女教师中,选取人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示).

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已知点 P Q 的横坐标相同, P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的2倍, P Q 的轨迹分别为双曲线 C 1 C 2 .若 C 1 的渐近线方程为 y = ± 3 x ,则 C 2 的渐近线方程为

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f - 1 x f x = 2 x - 2 + x 2 x 0 , 2 的反函数,则 y = f x + f - 1 x 的最大值为

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1 + x + 1 x 2015 10 的展开式中, x 2 项的系数为(结果用数值表示).

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赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量 ζ 1 ζ 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 E ζ 1 - E ζ 2 = (元).

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已知函数 f ( x ) = sin x .若存在 x 1 , x 2 , . . . x n 满足 0 x 1 < x 2 < . . . < x m 6 π ,且 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) + f ( x 2 ) - f ( x 3 ) + . . . + f ( x n - 1 ) - f ( x n ) = 12 m 2 , m N * ),则 m 的最小值为.

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在锐角三角形 A B C 中, tan A = 1 2 , D 为边 B C 上的点, A B D A C D 的面积分别为2和4.过 D D E A B E , D F A C F ,则 D E · D F =

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z 1 , z 2 C ,则" z 1 z 2 中至少有一个数是虚数"是" z 1 - z 2 是虚数"的(

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
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已知点 A 的坐标为 ( 4 3 , 1 ) ,将 O A 绕坐标原点 O 逆时针旋转 π 3 O B ,则点 B 的纵坐标为(  )

A. 3 3 2 B. 5 3 2 C. 11 2 D. 13 2
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记方程①: x 2 + a 1 + 1 = 0 ,方程②: x 2 + a 2 + 2 = 0 ,方程③: x 2 + a 3 x + 4 = 0 ,其中是正实数.当 a 1 a 2 a 3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是(

A. 方程①有实根,且②有实根 B. 方程①有实根,且②无实根
C. 方程①无实根,且②有实根 D. 方程①无实根,且②无实根
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P n x n , y n 是直线 2 x - y = n 1 + n n N + ,与圆 x 2 + y 2 = 2 在第一象限的交点,则极限 l i m n y n - 1 x n - 1 =

A. - 1 B. - 1 2 C. 1 D. 2
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如图,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, A A 1 = 1 , A B = A D = 2 , E , F ,分别是 A B , B C 的中点.证明 A 1 , C 1 , F , E 四点共面,并求直线 C D 1 与平面 A 1 C 1 F E 所成的角的大小.
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如图, O , P , Q 三地有直道相通, O P = 5 千米, P Q = 3 千米, O Q = 4 千米.现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f t (单位:千米).甲的路线是 O Q ,速度为5千米/小时,乙的路线是 OP Q ,速度为8千米/小时.乙到达 B 地后原地等待.设 t = t 1 时乙到达 Q 地.

(1)求 t 1 f t 1 的值;
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 t 1 t 1 时,求 f t 的表达式,并判断 f t t 1 , 1 上得最大值是否超过3?说明理由.

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已知椭圆 x 2 + 2 y 2 = 1 ,过原点的两条直线 l 1 l 2 分别于椭圆交于 A , B C , D ,记得到的平行四边形 A B C D 的面积为 S .
(1)设 A ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,用 A , C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距离,并证明 S = 2 x 1 y 1 - x 2 y 2
(2)设 l 1 l 2 的斜率之积为 - 1 2 ,求面积 S 的值.

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已知数列 { a n } { b n } 满足 a n + 1 - a n = 2 ( b n + 1 - b n ) , n N + .
(1)若 b n = 3 n + 5 ,且 a 1 = 1 ,求数列 { a n } 的通项公式;
(2)设 { a n } 的第 n 0 项是最大项,即 a n 0 > a n ( n N + ) ,求证:数列 { b n } 的第 n 0 项是最大项;
(3)设 a 1 = λ < 0 , b n = λ n ( n N + ) ,求 λ 的取值范围,使得 { a n } 有最大值 M 与最小值 m ,且 M m ( - 2 , 2 ) .

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对于定义域为 R 的函数 g x ,若存在正常数 T ,使得 cos g x 是以 T 为周期的函数,则称 g x 为余弦周期函数,且称 T 为其余弦周期.已知 f x 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数,其值域为.设 f x 单调递增, f 0 = 0 f T = 4 π .
(1)验证 h x = x + sin x 3 是以 6 π 为周期的余弦周期函数;
(2)设 a < b .证明对任意 c f a , f b ,存在 x 0 a , b ,使得 f x 0 = c
(3)证明:" u 0 cos f x = 1 0 , T 上得解"的充要条件是" u 0 + T 为方程 cos f x = 1 T , 2 T 上有解",并证明对任意 x 0 , T 都有 f x + T = f x + f T .

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