2015年全国统一高考理科数学试卷（上海卷）

设全集 $U=R$．若集合 $A=\left\{1,2,3,4\right\}$， $B=\left\{\overline{)x}2\le x\le 3\right\}$，则 $A\cap C_{U}B=$．

若复数 $z$满足 $3z+\overline{z}=1+i$，其中 $i$为虚数单位，则 $z=$．

若线性方程组的增广矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& c_1\\ 0& 1& c_2\end{array}\right)$、解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right.$，则 $c_1-c_2=$．

若正三棱柱的所有棱长均为 $a$，且其体积为 $16\sqrt{3}$，则 $a=$．

抛物线 $y^2=2px(p>0)$（）上的动点 $Q$到焦点的距离的最小值为1，则 $p=$．

若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2\mathrm{\pi }$，则其母线与轴的夹角的大小为．

方程 ${\log }_2\left(9^{x-1}-5\right)={\log }_2\left(3^{x-1}-2\right)+2$的解为．

在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．

已知点 $P$和 $Q$的横坐标相同， $P$的纵坐标是 $Q$的纵坐标的2倍， $P$和 $Q$的轨迹分别为双曲线 $C_1$和 $C_2$．若 $C_1$的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{3}x$，则 $C_2$的渐近线方程为

设 $f^{-1}\left(x\right)$为 $f\left(x\right)=2^{x-2}+\frac{x}{2}$， $x\in \left[0,2\right]$的反函数，则 $y=f\left(x\right)+f^{-1}\left(x\right)$的最大值为．

在 ${\left(1+x+\frac{1}{x^{2015}}\right)}^{10}$的展开式中， $x^2$项的系数为（结果用数值表示）．

赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 ${\zeta }_1$和 ${\zeta }_2$分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $E{\zeta }_1-E{\zeta }_2=$（元）．

已知函数 $f\left(x\right)=\sin x$．若存在 $x_1,x_2,...x_n$满足 $0\le x_1<x_2<...<x_m\le 6\pi$，且 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|+\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_3\right)\right|+...+\left|f\left(x_{n-1}\right)-f\left(x_n\right)\right|=12$（ $m\ge 2,m\in N^{*}$），则 $m$的最小值为.

在锐角三角形 $ABC$中, $\tan A=\frac{1}{2}$, $D$为边 $BC$上的点, $∆ABD$与 $∆ACD$的面积分别为2和4.过 $D$作 $DE\perp AB$于 $E$, $DF\perp AC$于 $F$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{DE}·\stackrel{\rightharpoonup }{DF}=$．

设 $z_1,z_2\in C$,则" $z_1、z_2$中至少有一个数是虚数"是" $z_1-z_2$是虚数"的（）

已知点 $A$的坐标为 $(4\sqrt{3},1)$，将 $OA$绕坐标原点 $O$逆时针旋转 $\frac{\pi }{3}$至 $OB$，则点 $B$的纵坐标为（  ）

记方程①： $x^2+a_1+1=0$，方程②： $x^2+a_2+2=0$，方程③： $x^2+a_{3}x+4=0$，其中，，是正实数．当 $a_1$， $a_2$， $a_3$成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）

设 $P_n\left(x_n,y_n\right)$是直线 $2x-y=\frac{n}{1+n}\left(n\in N^{+}\right)$，与圆 $x^2+y^2=2$在第一象限的交点，则极限 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{y_n-1}{x_n-1}=$（）

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $A{A}_1=1,AB=AD=2,E,F$，分别是 $AB,BC$的中点．证明 $A_1,C_1,F,E$四点共面，并求直线 $C{D}_1$与平面 $A_1{C}_{1}FE$所成的角的大小.

如图， $O,P,Q$三地有直道相通， $OP=5$千米， $PQ=3$千米， $OQ=4$千米.现甲、乙两警员同时从 $O$地出发匀速前往 $Q$地，经过 $t$小时，他们之间的距离为 $f\left(t\right)$（单位：千米）.甲的路线是 $OQ$，速度为5千米/小时，乙的路线是 $\mathrm{OP}Q$，速度为8千米/小时.乙到达 $B$地后原地等待.设 $t=t_1$时乙到达 $Q$地.

（1）求 $t_1$与 $f\left(t_1\right)$的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 $t_1\le t\le 1$时，求 $f\left(t\right)$的表达式，并判断 $f\left(t\right)$在 $\left[t_1,1\right]$上得最大值是否超过3？说明理由.

已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$和 $l_2$分别于椭圆交于 $A,B$和 $C,D$，记得到的平行四边形 $ABCD$的面积为 $S$.
（1）设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，用 $A,C$的坐标表示点 $C$到直线 $l_1$的距离，并证明 $S=2\left|x_1{y}_1-x_2{y}_2\right|$；
（2）设 $l_1$与 $l_2$的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求面积 $S$的值.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_{n+1}-a_n=2(b_{n+1}-b_n),n\in N^{+}$.
（1）若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）设 $\left\{a_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项，即 $a_{n_0}>a_n(n\in N^{+})$，求证：数列 $\left\{b_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项；
（3）设 $a_1=\lambda <0,b_n={\lambda }^n(n\in N^{+})$，求 $\lambda$的取值范围，使得 $\left\{a_n\right\}$有最大值 $M$与最小值 $m$，且 $\frac{M}{m}\in (-2,2)$.

对于定义域为 $R$的函数 $g\left(x\right)$，若存在正常数 $T$，使得 $\cos g\left(x\right)$是以 $T$为周期的函数，则称 $g\left(x\right)$为余弦周期函数，且称 $T$为其余弦周期.已知 $f\left(x\right)$是以 $T$为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设 $f\left(x\right)$单调递增， $f\left(0\right)=0$， $f\left(T\right)=4\mathrm{\pi }$.
（1）验证 $h\left(x\right)=x+\sin \frac{x}{3}$是以 $6\mathrm{\pi }$为周期的余弦周期函数；
（2）设 $a<b$．证明对任意 $c\in \left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]$，存在 $x_0\in \left[a,b\right]$，使得 $f\left(x_0\right)=c$；
（3）证明：" $u_0$为 $\cos f\left(x\right)=1$在 $\left[0,T\right]$上得解"的充要条件是" $u_0+T$为方程 $\cos f\left(x\right)=1$在 $\left[T,2T\right]$上有解"，并证明对任意 $x\in \left[0,T\right]$都有 $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)+f\left(T\right)$.