2019年江西省中考数学试卷

2的相反数是 $($ 　　 $)$

计算 $\frac{1}{a}÷(-\frac{1}{a^2})$ 的结果为 $($ 　　 $)$

如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为 $($ 　　 $)$

根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

已知正比例函数 $y_1$ 的图象与反比例函数 $y_2$ 的图象相交于点 $A(2,4)$ ，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有 $($ 　　 $)$

因式分解：$x^2-1=$　　．

我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜” $)$七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为$\sqrt{2}$，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是　　．

设$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2-x-1=0$的两根，则$x_1+x_2+x_1{x}_2=$　　．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，点$D$是$\mathit{BC}$上的点，$\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{ABC}=40°$，将$\mathit{\Delta ABD}$沿着$\mathit{AD}$翻折得到$\mathit{\Delta AED}$，则$\angle \mathit{CDE}=$　　$°$．

斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段$A-B-C$横穿双向行驶车道，其中$\mathit{AB}=\mathit{BC}=6$米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过$\mathit{AC}$，其中通过$\mathit{BC}$的速度是通过$\mathit{AB}$速度的1.2倍，求小明通过$\mathit{AB}$时的速度．设小明通过$\mathit{AB}$时的速度是$x$米$/$秒，根据题意列方程得：　　．

在平面直角坐标系中，$A$，$B$，$C$三点的坐标分别为$(4,0)$，$(4,4)$，$(0,4)$，点$P$在$x$轴上，点$D$在直线$\mathit{AB}$上，若$\mathit{DA}=1$，$\mathit{CP}\perp \mathit{DP}$于点$P$，则点$P$的坐标为　　．

（1）计算：$-(-1)+|-2|+{(\sqrt{2019}-2)}^0$；

（2）如图，四边形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=\mathit{CD}$，$\mathit{AD}=\mathit{BC}$，对角线$\mathit{AC}$，$\mathit{BD}$相交于点$O$，且$\mathit{OA}=\mathit{OD}$．求证：四边形$\mathit{ABCD}$是矩形．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2(x+1)>x\\ 1-2x⩾\frac{x+7}{2}\end{array}\right.$ 并在数轴上表示它的解集．

在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点$A$在以$\mathit{BC}$为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦$\mathit{EF}$，使$\mathit{EF}//\mathit{BC}$；

（2）在图2中以$\mathit{BC}$为边作一个$45°$的圆周角．

为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母$A$，$B$，$C$依次表示这三首歌曲）．比赛时，将$A$，$B$，$C$这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别为$(-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$0)$，$(\frac{\sqrt{3}}{2}$，$1)$，连接$\mathit{AB}$，以$\mathit{AB}$为边向上作等边三角形$\mathit{ABC}$．

（1）求点$C$的坐标；

（2）求线段$\mathit{BC}$所在直线的解析式．

某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

（1）填空：$a=$　　；

（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；

（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．

如图1，$\mathit{AB}$为半圆的直径，点$O$为圆心，$\mathit{AF}$为半圆的切线，过半圆上的点$C$作$\mathit{CD}//\mathit{AB}$交$\mathit{AF}$于点$D$，连接$\mathit{BC}$．

（1）连接$\mathit{DO}$，若$\mathit{BC}//\mathit{OD}$，求证：$\mathit{CD}$是半圆的切线；

（2）如图2，当线段$\mathit{CD}$与半圆交于点$E$时，连接$\mathit{AE}$，$\mathit{AC}$，判断$\angle \mathit{AED}$和$\angle \mathit{ACD}$的数量关系，并证明你的结论．

图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线$B-A-O$表示固定支架，$\mathit{AO}$垂直水平桌面$\mathit{OE}$于点$O$，点$B$为旋转点，$\mathit{BC}$可转动，当$\mathit{BC}$绕点$B$顺时针旋转时，投影探头$\mathit{CD}$始终垂直于水平桌面$\mathit{OE}$，经测量：$\mathit{AO}=6.8\mathit{cm}$，$\mathit{CD}=8\mathit{cm}$，$\mathit{AB}=30\mathit{cm}$，$\mathit{BC}=35\mathit{cm}$．（结果精确到$0.1)$．

（1）如图2，$\angle \mathit{ABC}=70°$，$\mathit{BC}//\mathit{OE}$．

①填空：$\angle \mathit{BAO}=$　　$°$．

②求投影探头的端点$D$到桌面$\mathit{OE}$的距离．

（2）如图3，将（1）中的$\mathit{BC}$向下旋转，当投影探头的端点$D$到桌面$\mathit{OE}$的距离为$6\mathit{cm}$时，求$\angle \mathit{ABC}$的大小．

（参考数据：$\sin 70°\approx 0.94$，$\cos 20°\approx 0.94$，$\sin 36.8°\approx 0.60$，$\cos 53.2°\approx 0.60)$

数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为$12\mathit{cm}$的铅笔$\mathit{AB}$斜靠在垂直于水平桌面$\mathit{AE}$的直尺$\mathit{FO}$的边沿上，一端$A$固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔$\mathit{AB}$绕端点$A$顺时针旋转，$\mathit{AB}$与$\mathit{OF}$交于点$D$，当旋转至水平位置时，铅笔$\mathit{AB}$的中点$C$与点$O$重合．

数学思考

（1）设$\mathit{CD}=\mathit{xcm}$，点$B$到$\mathit{OF}$的距离$\mathit{GB}=\mathit{ycm}$．

①用含$x$的代数式表示：$\mathit{AD}$的长是　$(6+x)$　$\mathit{cm}$，$\mathit{BD}$的长是　　$\mathit{cm}$；

②$y$与$x$的函数关系式是　　，自变量$x$的取值范围是　　．

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点$(x,y)$．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

在图1，2，3中，已知$▱\mathit{ABCD}$，$\angle \mathit{ABC}=120°$，点$E$为线段$\mathit{BC}$上的动点，连接$\mathit{AE}$，以$\mathit{AE}$为边向上作菱形$\mathit{AEFG}$，且$\angle \mathit{EAG}=120°$．

（1）如图1，当点$E$与点$B$重合时，$\angle \mathit{CEF}=$　　$°$；

（2）如图2，连接$\mathit{AF}$．

①填空：$\angle \mathit{FAD}$　　$\angle \mathit{EAB}$（填“$>$”，“ $<$ “，“$=$” $)$；

②求证：点$F$在$\angle \mathit{ABC}$的平分线上；

（3）如图3，连接$\mathit{EG}$，$\mathit{DG}$，并延长$\mathit{DG}$交$\mathit{BA}$的延长线于点$H$，当四边形$\mathit{AEGH}$是平行四边形时，求$\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}$的值．

特例感知

（1）如图1，对于抛物线$y_1=-x^2-x+1$，$y_2=-x^2-2x+1$，$y_3=-x^2-3x+1$，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线$y_1$，$y_2$，$y_3$都经过点$C(0,1)$；

②抛物线$y_2$，$y_3$的对称轴由抛物线$y_1$的对称轴依次向左平移$\frac{1}{2}$个单位得到；

③抛物线$y_1$，$y_2$，$y_3$与直线$y=1$的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足$y_n=-x^2-\mathit{nx}+1(n$为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为$P_1$，$P_2$，$P_3$，$\dots$，$P_n$，用含$n$的代数式表示顶点$P_n$的坐标，并写出该顶点纵坐标$y$与横坐标$x$之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：$C_1$，$C_2$，$C_3$，$\dots$，$C_n$，其横坐标分别为$-k-1$，$-k-2$，$-k-3$，$\dots$，$-k-n(k$为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线$y=1$分别交“系列平移抛物线”于点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\dots$，$A_n$，连接$C_n{A}_n$，$C_{n-1}{A}_{n-1}$，判断$C_n{A}_n$，$C_{n-1}{A}_{n-1}$是否平行？并说明理由．