2020年湖南省常德市中考数学试卷

4的倒数为 $($ 　　 $)$

下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 $($ 　　 $)$

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\angle 1=30°$ ， $\angle 2=35°$ ，则 $\angle \mathit{BCE}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

一个圆锥的底面半径 $r=10$ ，高 $h=20$ ，则这个圆锥的侧面积是 $($ 　　 $)$

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象如图所示，下列结论：

① $b^2-4\mathit{ac}>0$ ；② $\mathit{abc}<0$ ；③ $4a+b=0$ ；④ $4a-2b+c>0$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

如图，将一枚跳棋放在七边形 $\mathit{ABCDEFG}$ 的顶点 $A$ 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第 $k$ 次移动 $k$ 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在 $B$ 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在 $D$ 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是 $($ 　　 $)$

分解因式：$x{y}^2-4x=$　　．

若代数式$\frac{2}{\sqrt{2x-6}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是　　．

计算：$\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}=$　　．

如图，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x<0)$的图象经过点$A$，$\mathit{AB}\perp x$轴于$B$，且$\mathit{\Delta AOB}$的面积为6，则$k=$　　．

4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：

若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为　　人.

今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　　次．

如图1，已知四边形$\mathit{ABCD}$是正方形，将$\mathit{\Delta DAE}$，$\mathit{\Delta DCF}$分别沿$\mathit{DE}$，$\mathit{DF}$向内折叠得到图2，此时$\mathit{DA}$与$\mathit{DC}$重合$(A$、$C$都落在$G$点），若$\mathit{GF}=4$，$\mathit{EG}=6$，则$\mathit{DG}$的长为　　．

阅读理解：对于$x^3-(n^2+1)x+n$这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

$x^3-(n^2+1)x+n=x^3-n^{2}x-x+n=x(x^2-n^2)-(x-n)=x(x-n)(x+n)-(x-n)=(x-n)(x^2+\mathit{nx}-1)$．

理解运用：如果$x^3-(n^2+1)x+n=0$，那么$(x-n)(x^2+\mathit{nx}-1)=0$，即有$x-n=0$或$x^2+\mathit{nx}-1=0$，

因此，方程$x-n=0$和$x^2+\mathit{nx}-1=0$的所有解就是方程$x^3-(n^2+1)x+n=0$的解．

解决问题：求方程$x^3-5x+2=0$的解为　　．

计算： $2^0+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}·\sqrt{4}-4\tan 45°$ ．

解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x-1<x+4①\\ \frac{2}{3}x-\frac{3x+1}{2}⩽\frac{1}{3}②\end{array}\right.$ ．

先化简，再选一个合适的数代入求值：$(x+1-\frac{7x-9}{x})÷\frac{x^2-9}{x}$．

第5代移动通信技术简称 $5G$ ，某地已开通 $5G$ 业务，经测试 $5G$ 下载速度是 $4G$ 下载速度的15倍，小明和小强分别用 $5G$ 与 $4G$ 下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地 $4G$ 与 $5G$ 的下载速度分别是每秒多少兆？

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象经过 $A(3,18)$ 和 $B(-2,8)$ 两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）若一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0)$ 的图象只有一个交点，求交点坐标．

如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 $\mathit{BC}$ 的底部支撑点 $B$ 在水平线 $\mathit{AD}$ 的下方， $\mathit{AB}$ 与水平线 $\mathit{AD}$ 之间的夹角是 $5°$ ，卸货时，车厢与水平线 $\mathit{AD}$ 成 $60°$ ，此时 $\mathit{AB}$ 与支撑顶杆 $\mathit{BC}$ 的夹角为 $45°$ ，若 $\mathit{AC}=2$ 米，求 $\mathit{BC}$ 的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据： $\sin 65°\approx 0.91$ ， $\cos 65°\approx 0.42$ ， $\tan 65°\approx 2.14$ ， $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41)$

今年 $2-4$ 月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．

（1）轻症患者的人数是多少？

（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？

（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？

（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 $B$ 、 $D$ 两位患者的概率．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $C$ 是 $\odot O$ 上的一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上的一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ 于 $D$ ， $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于 $F$ ，且 $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，圆的半径 $\mathit{OB}=5$ ，求切线 $\mathit{EC}$ 的长．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2$ 过点 $A(-3,\frac{9}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线 $l$ 过点 $A$ ， $M(\frac{3}{2}$ ， $0)$ 且与抛物线交于另一点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求证： $M{C}^2=\mathit{MA}·\mathit{MB}$ ；

（3）若点 $P$ ， $D$ 分别是抛物线与直线 $l$ 上的动点，以 $\mathit{OC}$ 为一边且顶点为 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $D$ 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 $P$ 点坐标．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．