2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

下列各数是正数的是 $($　　 $)$

A．0B．5C． $-\frac{1}{2}$D． $-\sqrt{2}$

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $x^7÷x=x^7$B． ${(-3x^2)}^2=-9x^4$C． $x^3·x^3=2x^6$D． ${\left(x^3\right)}^2=x^6$

2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $9.56\times {10}^6$B． $95.6\times {10}^5$C． $0.956\times {10}^7$D． $956\times {10}^4$

下表是我市七个县（区 $)$今年某日最高气温 ${(}^{°}\text{C})$的统计结果：

则该日最高气温 ${(}^{°}\text{C})$的众数和中位数分别是 $($　　 $)$

A．25，25B．25，26C．25，23D．24，25

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x-3>0\\ 2x-8⩽0\end{array}\right.$的解集是 $($　　 $)$

A． $x>3$B． $x⩽4$C． $x<3$D． $3<x⩽4$

如图所示，该几何体的左视图是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

下列事件属于必然事件的是 $($　　 $)$

A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台 $x$万元，根据题意，所列方程正确的是 $($　　 $)$

A． $\frac{360}{x}=\frac{480}{140-x}$B． $\frac{360}{140-x}=\frac{480}{x}$

C． $\frac{360}{x}+\frac{480}{x}=140$D． $\frac{360}{x}-140=\frac{480}{x}$

如图，点 $P$是以 $\mathit{AB}$为直径的半圆上的动点， $\mathit{CA}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$，连接 $\mathit{AP}$，设 $\mathit{AP}=x$， $\mathit{PA}-\mathit{PD}=y$，则下列函数图象能反映 $y$与 $x$之间关系的是 $($　　 $)$

A．

B．

C．

D．

若 $\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，则 $x$的取值范围为　　．

函数 $y=5x$的图象经过的象限是　　．

如果关于 $x$的一元二次方程 $x^2-4x+k=0$有实数根，那么 $k$的取值范围是　　．

在平面直角坐标系中，点 $A$， $B$的坐标分别是 $A(4,2)$， $B(5,0)$，以点 $O$为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$，把 $\mathit{\Delta ABO}$缩小，得到△ $A_1{B}_{1}O$，则点 $A$的对应点 $A_1$的坐标为　　．

如图， $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线，在 $\mathit{BA}$和 $\mathit{BD}$上分别截取 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$，使 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；分别以 $E$， $F$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径作弧，两弧在 $\angle \mathit{ABD}$内交于点 $G$，作射线 $\mathit{BG}$交 $\mathit{AD}$于点 $P$，若 $\mathit{AP}=3$，则点 $P$到 $\mathit{BD}$的距离为   　．

如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形 $\mathit{ABCD}$内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为　　．

如图，在平面直角坐标系中，等边 $\mathit{\Delta OAB}$和菱形 $\mathit{OCDE}$的边 $\mathit{OA}$， $\mathit{OE}$都在 $x$轴上，点 $C$在 $\mathit{OB}$边上， $S_{\mathit{\Delta ABD}}=\sqrt{3}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $B$，则 $k$的值为　　．

如图，点 $B_1$在直线 $l:y=\frac{1}{2}x$上，点 $B_1$的横坐标为2，过 $B_1$作 $B_1{A}_1\perp l$，交 $x$轴于点 $A_1$，以 $A_1{B}_1$为边，向右作正方形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$，延长 $B_2{C}_1$交 $x$轴于点 $A_2$；以 $A_2{B}_2$为边，向右作正方形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$，延长 $B_3{C}_2$交 $x$轴于点 $A_3$；以 $A_3{B}_3$为边，向右作正方形 $A_3{B}_3{B}_4{C}_3$，延长 $B_4{C}_3$交 $x$轴于点 $A_4$； $\dots$；按照这个规律进行下去，点 $C_n$的横坐标为　　（结果用含正整数 $n$的代数式表示）

先化简，再求值 $(\frac{a^2-4}{a^2-4a+4}-\frac{1}{2-a})÷\frac{2}{a^2-2a}$，其中 $a$满足 $a^2+3a-2=0$．

某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： $A$．机器人， $B$．围棋， $C$．羽毛球， $D$．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 $A$所占扇形的圆心角为 $36°$．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　　人；

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$， $\angle B=45°$，延长 $\mathit{CD}$到点 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{DA}$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{CD}=1$，求四边形 $\mathit{ABCE}$的面积．

小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $\mathit{DE}$，箱长 $\mathit{BC}$，拉杆 $\mathit{AB}$的长度都相等，即 $\mathit{DE}=\mathit{BC}=\mathit{AB}$， $B$， $F$在 $\mathit{AC}$上， $C$在 $\mathit{DE}$上，支杆 $\mathit{DF}=30\mathit{cm}$， $\mathit{CE}:\mathit{CD}=1:3$， $\angle \mathit{DCF}=45°$， $\angle \mathit{CDF}=30°$，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求 $\mathit{AC}$的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点 $A$到水平滑杆 $\mathit{ED}$的距离（结果保留根号）．

某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 $y$（元 $)$与一次性批发量 $x$（件 $\left)\right(x$为正整数）之间满足如图所示的函数关系．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间所满足的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

如图，点 $P$为正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta DEF}$的外接圆，连接 $\mathit{DP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDC}=\frac{1}{2}$，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，求 $\odot O$的半径和线段 $\mathit{OP}$的长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}=90°$， $\angle A<\angle \mathit{ABC}$， $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DB}$， $O$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CE}$是 $\mathit{\Delta BCD}$的中线．

（1）如图 $a$，连接 $\mathit{OC}$，请直接写出 $\angle \mathit{OCE}$和 $\angle \mathit{OAC}$的数量关系：　    ；

（2）点 $M$是射线 $\mathit{EC}$上的一个动点，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得射线 $\mathit{ON}$，使 $\angle \mathit{MON}=\angle \mathit{ADB}$， $\mathit{ON}$与射线 $\mathit{CA}$交于点 $N$．

①如图 $b$，猜想并证明线段 $\mathit{OM}$和线段 $\mathit{ON}$之间的数量关系；

②若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=m$，当 $\angle \mathit{AON}=15°$时，请直接写出线段 $\mathit{ME}$的长度（用含 $m$的代数式表示）．

抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，顶点为 $C$，对称轴交 $x$轴于点 $D$，点 $P$为抛物线对称轴 $\mathit{CD}$上的一动点（点 $P$不与 $C$， $D$重合）．过点 $C$作直线 $\mathit{PB}$的垂线交 $\mathit{PB}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta PCF}$的面积为5时，求点 $P$的坐标；

（3）当 $\mathit{\Delta PCF}$为等腰三角形时，请直接写出点 $P$的坐标．