2019年辽宁省丹东市中考数学试卷

2019的相反数是 $($　　 $)$

A． $-2019$B．2019C． $-\frac{1}{2019}$D． $\frac{1}{2019}$

十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8万件．数据274.8万用科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $2.748\times {10}^2$B． $274.8\times {10}^4$

C． $2.748\times {10}^6$D． $0.2748\times {10}^7$

如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

下面计算正确的是 $($　　 $)$

A． $3a-2a=1$B． $2a^2+4a^2=6a^4$

C． ${\left(x^3\right)}^2=x^5$D． $x^8÷x^2=x^6$

如图，点 $C$在 $\angle \mathit{AOB}$的边 $\mathit{OA}$上，用尺规作出了 $\mathit{CP}//\mathit{OB}$，作图痕迹中， $\stackrel{̂}{\mathit{FG}}$是 $($　　 $)$

A．以点 $C$为圆心、 $\mathit{OD}$的长为半径的弧

B．以点 $C$为圆心、 $\mathit{DM}$的长为半径的弧

C．以点 $E$为圆心、 $\mathit{DM}$的长为半径的弧

D．以点 $E$为圆心、 $\mathit{OD}$的长为半径的弧

在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是 $($　　 $)$

A．11B．12C．13D．14

等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-6x+k=0$的两个实数根，则 $k$的值是 $($　　 $)$

A．8B．9C．8或9D．12

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $(-2,0)$，对称轴为直线 $x=1$．有以下结论：

① $\mathit{abc}>0$；

② $8a+c>0$；

③若 $A(x_1$， $m)$， $B(x_2$， $m)$是抛物线上的两点，当 $x=x_1+x_2$时， $y=c$；

④点 $M$， $N$是抛物线与 $x$轴的两个交点，若在 $x$轴下方的抛物线上存在一点 $P$，使得 $\mathit{PM}\perp \mathit{PN}$，则 $a$的取值范围为 $a⩾1$；

⑤若方程 $a(x+2)(4-x)=-2$的两根为 $x_1$， $x_2$，且 $x_1<x_2$，则 $-2⩽x_1<x_2<4$．

其中结论正确的有 $($　　 $)$

A．2个B．3个C．4个D．5个

因式分解： $2x^3-8x^2+8x=$　　．

在函数 $y=\frac{\sqrt{1-2x}}{x}$中，自变量 $x$的取值范围是　　．

有5张无差别的卡片，上面分别标有 $-1$，0， $\frac{1}{3}$， $\sqrt{2}$， $\pi$，从中随机抽取1张，则抽出的数是无理数的概率是　　．

关于 $x$的不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x-4>0\\ a-x>-1\end{array}\right.$的解集是 $2<x<4$，则 $a$的值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{DE}$是 $\mathit{AB}$的垂直平分线， $\mathit{AD}$恰好平分 $\angle \mathit{BAC}$．若 $\mathit{DE}=1$，则 $\mathit{BC}$的长是　　．

如图，点 $A$在双曲线 $y=\frac{6}{x}(x>0)$上，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$，点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上且 $\mathit{BC}:\mathit{CA}=1:2$，双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$经过点 $C$，则 $k=$　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$， $C$分别在 $x$轴、 $y$轴上，四边形 $\mathit{ABCO}$是边长为4的正方形，点 $D$为 $\mathit{AB}$的中点，点 $P$为 $\mathit{OB}$上的一个动点，连接 $\mathit{DP}$， $\mathit{AP}$，当点 $P$满足 $\mathit{DP}+\mathit{AP}$的值最小时，直线 $\mathit{AP}$的解析式为　　．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{OA}=1$，以 $\mathit{OA}$为一边，在第一象限作菱形 $\mathit{OA}{A}_{1}B$，并使 $\angle \mathit{AOB}=60°$，再以对角线 $O{A}_1$为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形 $O{A}_1{A}_2{B}_1$，再依次作菱形 $O{A}_2{A}_3{B}_2$， $O{A}_3{A}_4{B}_3$， $\dots \dots$，则过点 $B_{2018}$， $B_{2019}$， $A_{2019}$的圆的圆心坐标为　　．

先化简，再求代数式的值： $\frac{2x}{x+1}-\frac{2x-4}{x^2-1}÷\frac{x-2}{x^2-2x+1}$，其中 $x=3\cos 60°$．

在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是网格线的交点，已知 $B$， $C$两点的坐标分别为 $(-3,0)$， $(-1,-1)$．

（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 $A$的坐标．

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕着坐标原点顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的△ $A\text{'}{B}^{\text{'}}C\text{'}$．

（3）接写出在上述旋转过程中，点 $A$所经过的路径长．

为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查学生的人数为　　．

（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中 $A$所对应扇形圆心角的度数．

（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．

如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘 $A$， $B$分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．

（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．

（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘 $A$上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．

甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 $4000m$．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行 $800m$，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到 $2.5\mathit{min}$．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，与边 $\mathit{AC}$相交于点 $G$，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AG}}=\stackrel{̂}{\mathit{EG}}$，连接 $\mathit{GO}$并延长交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证：

① $\mathit{AO}=\mathit{AG}$．

② $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BD}=6$，求图形中阴影部分的面积．

如图，在某街道路边有相距 $10m$、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面 $A$处测得路灯 $\mathit{PQ}$的顶端仰角为 $14°$，向前行走 $25m$到达 $B$处，在地面测得路灯 $\mathit{MN}$的顶端仰角为 $24.3°$，已知点 $A$， $B$， $Q$， $N$在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 14°\approx 0.24$， $\cos 14°\approx 0.97$， $\tan 14°\approx 0.25$， $\sin 24.3°\approx 0.41$， $\cos 24.3°\approx 0.91$， $\tan 24.3°\approx 0.45)$

某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为 $x$元，平均月销售量为 $y$件．

（1）求出 $y$与 $x$的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围．

（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

已知：在 $\mathit{\Delta ABC}$外分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为边作 $\mathit{\Delta AEB}$与 $\mathit{\Delta AFC}$．

（1）如图1， $\mathit{\Delta AEB}$与 $\mathit{\Delta AFC}$分别是以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为斜边的等腰直角三角形，连接 $\mathit{EF}$．以 $\mathit{EF}$为直角边构造 $\text{Rt}\Delta \text{EFG}$，且 $\mathit{EF}=\mathit{FG}$，连接 $\mathit{BG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{EC}$．

求证：① $\mathit{\Delta AEF}\cong \mathit{\Delta CGF}$．

②四边形 $\mathit{BGCE}$是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$外分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{AEB}$与 $\text{Rt}\Delta \text{AFC}$，并使 $\angle \mathit{FAC}=\angle \mathit{EAB}=30°$，取 $\mathit{BC}$的中点 $D$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{EF}$后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 $\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EF}}$的值及 $\angle \mathit{DEF}$的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在 $\mathit{\Delta ABC}$外分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为底边作等腰三角形 $\mathit{AEB}$和等腰三角形 $\mathit{AFC}$，并使 $\angle \mathit{CAF}+\angle \mathit{EAB}=90°$，取 $\mathit{BC}$的中点 $D$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{EF}$后发现，当给定 $\angle \mathit{EAB}=\alpha$时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 $\mathit{AE}=m$， $\mathit{AB}=n$，请你帮助小颖用含 $m$， $n$的代数式直接写出 $\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EF}}$的值，并用含 $\alpha$的代数式直接表示 $\angle \mathit{DEF}$的度数．