2018年黑龙江省大兴安岭中考数学试卷

下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 $($　　 $)$

$A$．1个 $B$．2个 $C$．3个 $D$．4个

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $a^2·a^3=a^6$B． ${\left(a^2\right)}^2=a^4$C． $a^8÷a^4=a^2$D． ${\left(\mathit{ab}\right)}^3=a{b}^3$

“厉害了，我的国！”2018年1月18日，国家统计局对外公布，全年国内生产总值 $\left(\mathit{GDP}\right)$首次站上82万亿元的历史新台阶，把82万亿用科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $8.2\times {10}^{13}$B． $8.2\times {10}^{12}$C． $8.2\times {10}^{11}$D． $8.2\times {10}^9$

一副直角三角板如图放置，点 $C$在 $\mathit{FD}$的延长线上， $\mathit{AB}//\mathit{CF}$， $\angle F=\angle \mathit{ACB}=90°$，则 $\angle \mathit{DBC}$的度数为 $($　　 $)$

A． $10°$B． $15°$C． $18°$D． $30°$

如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温 $T$如何随时间 $t$的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是 $($　　 $)$

A．0点时气温达到最低

B．最低气温是零下 $4^{°}\text{C}$

C．0点到14点之间气温持续上升

D．最高气温是 $8^{°}\text{C}$

我们家乡的黑土地全国特有，肥沃的土壤、绿色的水源是优质大米得天独厚的生长条件，因此黑龙江的大米在全国受到广泛欢迎，小明在平价米店记录了一周中不同包装 $(10\mathit{kg}$， $20\mathit{kg}$， $50\mathit{kg})$的大米的销售量（单位：袋）如下： $10\mathit{kg}$装100袋； $20\mathit{kg}$装220袋； $50\mathit{kg}$装80袋，如果每千克大米的进价和销售价都相同，则米店老板最应该关注的是这些数据（千克数）中的 $($　　 $)$

A．众数B．平均数C．中位数D．方差

我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予 $3a$实际意义的例子中不正确的是 $($　　 $)$

A．若葡萄的价格是3元 $/$千克，则 $3a$表示买 $a$千克葡萄的金额

B．若 $a$表示一个等边三角形的边长，则 $3a$表示这个等边三角形的周长

C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积， $a$表示桌面受到的压强，则 $3a$表示小木块对桌面的压力             

D．若3和 $a$分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 $3a$表示这个两位数

某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有 $($　　 $)$

A．1种B．2种C．3种D．4种

下列成语中，表示不可能事件的是 $($　　 $)$

A．缘木求鱼B．杀鸡取卵

C．探囊取物D．日月经天，江河行地

抛物线 $C_1:y_1=m{x}^2-4\mathit{mx}+2n-1$与平行于 $x$轴的直线交于 $A$、 $B$两点，且 $A$点坐标为 $(-1,2)$，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线 $x=2$；②抛物线与 $y$轴交点坐标为 $(0,-1)$；③ $m>\frac{2}{5}$；④若抛物线 $C_2:y_2=a{x}^2(a\ne 0)$与线段 $\mathit{AB}$恰有一个公共点，则 $a$的取值范围是 $\frac{2}{25}⩽a<2$；⑤不等式 $m{x}^2-4\mathit{mx}+2n>0$的解作为函数 $C_1$的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有 $($　　 $)$

A．2个B．3个C．4个D．5个

已知反比例函数 $y=\frac{2-k}{x}$的图象在第一、三象限内，则 $k$的值可以是　　．（写出满足条件的一个 $k$的值即可）

已知圆锥的底面半径为20，侧面积为 $600\pi$，则这个圆锥的母线长为　　．

三棱柱的三视图如图所示，已知 $\mathit{\Delta EFG}$中， $\mathit{EF}=8\mathit{cm}$， $\mathit{EG}=12\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFG}=45°$．则 $\mathit{AB}$的长为　　 $\mathit{cm}$．

若关于 $x$的方程 $\frac{1}{x-4}+\frac{m}{x+4}=\frac{m+3}{x^2-16}$无解，则 $m$的值为　　．

爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的　　倍．

四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$是对角线， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\tan \angle \mathit{ABD}=\frac{3}{4}$， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$， $\mathit{AD}=13$，则线段 $\mathit{CD}=$　　．

在平面直角坐标系中，点 $A(\sqrt{3}$， $1)$在射线 $\mathit{OM}$上，点 $B(\sqrt{3}$， $3)$在射线 $\mathit{ON}$上，以 $\mathit{AB}$为直角边作 $\text{Rt}\Delta {\text{ABA}}_{\text{1}}$，以 $B{A}_1$为直角边作第二个 $\mathit{Rt}$△ $B{A}_1{B}_1$，以 $A_1{B}_1$为直角边作第三个 $\mathit{Rt}$△ $A_1{B}_1{A}_2$， $\dots$，依此规律，得到 $\mathit{Rt}$△ $B_{2017}{A}_{2018}{B}_{2018}$，则点 $B_{2018}$的纵坐标为　　．

（1）计算： ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}+{(\sqrt{3}-\sqrt{7})}^0-2\cos 60°-|3-\pi |$

（2）分解因式： $6{(a-b)}^2+3(a-b)$

解方程： $2(x-3)=3x(x-3)$．

如图，以 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$为直径画 $\odot O$，交 $\mathit{AC}$于点 $D$，半径 $\mathit{OE}//\mathit{BD}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{BD}$，设 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\angle \mathit{DEB}=\angle \mathit{DBC}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=\mathit{BC}=2$，求图中阴影部分的面积．

初三上学期期末考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图（满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12；②第二、三组的频率和是0.48；③自左至右第三，四，五组的频数比为 $9:8:3$；

请你结合统计图解答下列问题：

（1）全班学生共有　　人；

（2）补全统计图；

（3）如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人？

（4）若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？

某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人 $20\mathit{min}$后乘坐小轿车沿同一路线出行．大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的 $\frac{10}{7}$继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口 $6\mathit{km}$时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程 $S$（单位： $\mathit{km})$和行驶时间 $t$（单位： $\mathit{min})$之间的函数关系如图所示．

请结合图象解决下面问题：

（1）学校到景点的路程为　　 $\mathit{km}$，大客车途中停留了　　 $\mathit{min}$， $a=$　　；

（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 $80\mathit{km}/h$，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？

（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待　　分钟，大客车才能到达景点入口．

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，使点 $B\text{'}$落在矩形 $\mathit{ABCD}$所在平面内， $B^{\text{'}}C$和 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，连接 $B\text{'}D$．

解决问题

（1）在图1中，

① $B\text{'}D$和 $\mathit{AC}$的位置关系为　　；

②将 $\mathit{\Delta AEC}$剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(\mathit{AB}\ne \mathit{BC})$，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$，当△ $\mathit{AB}\text{'}D$恰好为直角三角形时， $\mathit{BC}$的长度为　　．

综合与探究

如图1所示，直线 $y=x+c$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A$， $C$．

（1）求抛物线的解析式

（2）点 $E$在抛物线的对称轴上，求 $\mathit{CE}+\mathit{OE}$的最小值；

（3）如图2所示， $M$是线段 $\mathit{OA}$的上一个动点，过点 $M$垂直于 $x$轴的直线与直线 $\mathit{AC}$和抛物线分别交于点 $P$、 $N$．

①若以 $C$， $P$， $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta APM}$相似，则 $\mathit{\Delta CPN}$的面积为　　；

②若点 $P$恰好是线段 $\mathit{MN}$的中点，点 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $D$，使以点 $D$， $F$， $P$， $M$为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$