2017年湖北省随州市中考数学试卷

$-2$的绝对值是 $($　　 $)$

A．2B． $-2$C． $\frac{1}{2}$D． $-\frac{1}{2}$

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A． $a^3+a^3=a^6$B． ${(a-b)}^2=a^2-b^2$C． ${(-a^3)}^2=a^6$D． $a^{12}÷a^2=a^6$

如图是某几何体的三视图，这个几何体是 $($　　 $)$

A．圆锥B．长方体C．圆柱D．三棱柱

一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是 $($　　 $)$

A．4和3.5B．4和3.6C．5和3.5D．5和3.6

某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 $($　　 $)$

A．两点之间线段最短

B．两点确定一条直线

C．垂线段最短

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

如图，用尺规作图作 $\angle \mathit{AOC}=\angle \mathit{AOB}$的第一步是以点 $O$为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$于点 $E$、 $F$，那么第二步的作图痕迹②的作法是 $($　　 $)$

A．以点 $F$为圆心， $\mathit{OE}$长为半径画弧

B．以点 $F$为圆心， $\mathit{EF}$长为半径画弧

C．以点 $E$为圆心， $\mathit{OE}$长为半径画弧

D．以点 $E$为圆心， $\mathit{EF}$长为半径画弧

小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔 $x$元，每本笔记本 $y$元，则可列方程组 $($　　 $)$

A． $\left\{\begin{array}{c}20x+30y=110\\ 10x+5y=85\end{array}\right.$B． $\left\{\begin{array}{c}20x+10y=110\\ 30x+5y=85\end{array}\right.$

C． $\left\{\begin{array}{c}20x+5y=110\\ 30x+10y=85\end{array}\right.$D． $\left\{\begin{array}{c}5x+20y=110\\ 10x+30y=85\end{array}\right.$

在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数 $\left(n\right)$和芍药的数量规律，那么当 $n=11$时，芍药的数量为 $($　　 $)$

A．84株B．88株C．92株D．121株

对于二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}-3$，下列结论错误的是 $($　　 $)$

A．它的图象与 $x$轴有两个交点

B．方程 $x^2-2\mathit{mx}=3$的两根之积为 $-3$

C．它的图象的对称轴在 $y$轴的右侧

D． $x<m$时， $y$随 $x$的增大而减小

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}<\mathit{BC}$， $E$为 $\mathit{CD}$边的中点，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $E$顺时针旋转 $180°$，点 $D$的对应点为 $C$，点 $A$的对应点为 $F$，过点 $E$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BD}$交于点 $N$，现有下列结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{AD}+\mathit{MC}$；

② $\mathit{AM}=\mathit{DE}+\mathit{BM}$；

③ $D{E}^2=\mathit{AD}·\mathit{CM}$；

④点 $N$为 $\mathit{\Delta ABM}$的外心．

其中正确的个数为 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为　      　．

“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是　    　事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，半径 $\mathit{OC}$垂直 $\mathit{AB}$，点 $D$是 $\odot O$上一点，且点 $D$与点 $C$位于弦 $\mathit{AB}$两侧，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{OB}$，若 $\angle \mathit{BOC}=70°$，则 $\angle \mathit{ADC}=$　   　度．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=5$，点 $D$在边 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AD}=2$，点 $E$在边 $\mathit{AC}$上，当 $\mathit{AE}=$　    　时，以 $A$、 $D$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似．

如图， $\angle \mathit{AOB}$的边 $\mathit{OB}$与 $x$轴正半轴重合，点 $P$是 $\mathit{OA}$上的一动点，点 $N(3,0)$是 $\mathit{OB}$上的一定点，点 $M$是 $\mathit{ON}$的中点， $\angle \mathit{AOB}=30°$，要使 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$最小，则点 $P$的坐标为　    　．

在一条笔直的公路上有 $A$、 $B$、 $C$三地， $C$地位于 $A$、 $B$两地之间，甲车从 $A$地沿这条公路匀速驶向 $C$地，乙车从 $B$地沿这条公路匀速驶向 $A$地．在甲车出发至甲车到达 $C$地的过程中，甲、乙两车各自与 $C$地的距离 $y\left(\mathit{km}\right)$与甲车行驶时间 $t\left(h\right)$之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发 $2h$时，两车相遇；②乙车出发 $1.5h$时，两车相距 $170\mathit{km}$；③乙车出发 $2\frac{5}{7}h$时，两车相遇；④甲车到达 $C$地时，两车相距 $40\mathit{km}$．其中正确的是　     　（填写所有正确结论的序号）．

计算： ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}-{(2017-\pi )}^0+\sqrt{{(-3)}^2}-|-2|$．

解分式方程： $\frac{3}{x^2-x}+1=\frac{x}{x-1}$．

如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点 $O$沿 $x$轴向左平移2个单位长度得到点 $A$，过点 $A$作 $y$轴的平行线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $B$， $\mathit{AB}=\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若 $P(x_1$， $y_1)$、 $Q(x_2$， $y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$时， $y_1>y_2$，指出点 $P$、 $Q$各位于哪个象限？并简要说明理由．

风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在 $A$处测得塔杆顶端 $C$的仰角是 $55°$，沿 $\mathit{HA}$方向水平前进43米到达山底 $G$处，在山顶 $B$处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 $D(D$、 $C$、 $H$在同一直线上）的仰角是 $45°$．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高 $\mathit{BG}$为10米， $\mathit{BG}\perp \mathit{HG}$， $\mathit{CH}\perp \mathit{AH}$，求塔杆 $\mathit{CH}$的高．（参考数据： $\tan 55°\approx 1.4$， $\tan 35°\approx 0.7$， $\sin 55°\approx 0.8$， $\sin 35°\approx 0.6)$

某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组 $(x$表示成绩，单位：分）， $A$组： $75⩽x<80$； $B$组： $80⩽x<85$； $C$组： $85⩽x<90$； $D$组： $90⩽x<95$； $E$组： $95⩽x<100$．并绘制出如图两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加初赛的选手共有　    　名，请补全频数分布直方图；

（2）扇形统计图中， $C$组对应的圆心角是多少度？ $E$组人数占参赛选手的百分比是多少？

（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛， $E$组6名选手直接进入代表队，现要从 $D$组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $O$在 $\mathit{AB}$上，经过点 $A$的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\mathit{CD}=1$，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$．

某水果店在两周内，将标价为10元 $/$斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元 $/$斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第 $x$天（ $x$为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元 $/$斤，设销售该水果第 $x$（天）的利润为 $y$（元），求 $y$与 $x(1⩽x<15)$之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形， $\mathit{AF}$经过点 $C$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AF}$于点 $M$，观察发现：点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AF}$于点 $H$． $\dots$

请参考上面的思路，证明点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当 $\angle \mathit{ABE}=135°$时，延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{EF}$交于点 $N$，求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{NE}}$的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=k(k$为大于 $\sqrt{2}$的常数），直接用含 $k$的代数式表示 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MF}}$的值．

在平面直角坐标系中，我们定义直线 $y=\mathit{ax}-a$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数， $a\ne 0)$的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 $y$轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线 $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{4\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$与其“梦想直线”交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴负半轴交于点 $C$．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　         　，点 $A$的坐标为　   　，点 $B$的坐标为　   　；

（2）如图，点 $M$为线段 $\mathit{CB}$上一动点，将 $\mathit{\Delta ACM}$以 $\mathit{AM}$所在直线为对称轴翻折，点 $C$的对称点为 $N$，若 $\mathit{\Delta AMN}$为该抛物线的“梦想三角形”，求点 $N$的坐标；

（3）当点 $E$在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 $F$，使得以点 $A$、 $C$、 $E$、 $F$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $E$、 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．