2020年全国统一高考数学试卷（北京卷）

已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}$ ， $B=\left\{x\right|0<x<3\}$ ，则 $A\cap B=$ （    ）．

在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$ ，则 $i\cdot z=$ （    ）．

在 $(\sqrt{x}-2{)}^5$ 的展开式中， $x^2$ 的系数为（    ）．

某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（    ）．

已知半径为1的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

已知函数 $f\left(x\right)=2^x-x-1$ ，则不等式 $f\left(x\right)>0$ 的解集是（    ）．

设抛物线的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ． $P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp l$ 于 $Q$ ，则线段 $\mathit{FQ}$ 的垂直平分线（    ）．

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中， $a_1=-9$ ， $a_3=-1$ ．记 $T_n=a_1{a}_2\dots a_n(n=1,2,\dots )$ ，则数列 $\left\{T_n\right\}$ （    ）．

已知 $\alpha ,\beta \in R$ ，则"存在 $k\in Z$ 使得 $\alpha =\mathit{k\pi }+(-1{)}^k\beta$ "是" $\mathit{sin}\alpha =\mathit{sin}\beta$ "的（    ）．

2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $\pi$ Day）．历史上，求圆周率 $\pi$ 的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 $n$ 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2\pi$ 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， $\pi$ 的近似值的表达式是（    ）．

函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}+\mathit{ln}x$的定义域是____________．

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{AP}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathit{AB}}+\overrightarrow{\mathit{AC}})$，则 $\left|\overrightarrow{\mathit{PD}}\right|=$_________； $\overrightarrow{\mathit{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{PD}}=$_________．

若函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}(x+\phi )+\mathit{cos}x$的最大值为2，则常数 $\phi$的一个取值为________．

为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为 $W=f\left(t\right)$ ，用 $-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ 的大小评价在 $[a,b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在 $\left[t_1,t_2\right]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在 $t_2$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在 $t_3$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在 $\left[0,t_1\right],\left[t_1,t_2\right],\left[t_2,t_3\right]$ 这三段时间中，在 $\left[0,t_1\right]$ 的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

如图，在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， E为 的中点．

（Ⅰ）求证： $B{C}_1//$ 平面 $A{D}_{1}E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A{A}_1$ 与平面 $A{D}_{1}E$ 所成角的正弦值．

在 $△\mathit{ABC}$中， $a+b=11$，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\mathit{sin}C$和 $△\mathit{ABC}$的面积．

条件①： $c=7,\mathit{cos}A=-\frac{1}{7}$；

条件②： $\mathit{cos}A=\frac{1}{8},\mathit{cos}B=\frac{9}{16}$．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_0$ ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_1$ ，试比较 $p_0$ 与 $p_1$ 的大小．（结论不要求证明）

已知函数 $f\left(x\right)=12-x^2$．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$的斜率等于 $-2$的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(t,f(t\left)\right)$处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S\left(t\right)$，求 $S\left(t\right)$的最小值．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点 $A(-2,-1)$，且 $a=2b$．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点 $M,N$,直线 $\mathit{MA},\mathit{NA}$分别交直线 $x=-4$于点 $P,Q$．求 $\frac{\left|\mathit{PB}\right|}{\left|\mathit{BQ}\right|}$的值．

已知 $\left\{a_n\right\}$是无穷数列．给出两个性质：

①对于 $\left\{a_n\right\}$中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\left\{a_n\right\}$中都存在一项 $a_m$，使 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；

②对于 $\left\{a_n\right\}$中任意项 $a_n(n⩾3)$，在 $\left\{a_n\right\}$中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$．使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}$．

(Ⅰ)若 $a_n=n(n=1,2,\cdots )$，判断数列 $\left\{a_n\right\}$是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_n=2^{n-1}(n=1,2,\cdots )$，判断数列 $\left\{a_n\right\}$是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\left\{a_n\right\}$是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\left\{a_n\right\}$为等比数列.