2009年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

已知全集 $U=R$ ，集合 $M=\left\{x\left|-2\le x-1\le 2\right.\right\}$ 和 $N=\left\{x\left|x=2k-1,k=1,2,\dots \right.\right\}$ 的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）

设 $z$ 是复数， $a\left(z\right)$ 表示满足 $z^n=1$ 的最小正整数 $n$ ，则对虚数单位 $i$ ， $a\left(i\right)=$ （ ）

若函数 $y=f\left(x\right)$ 是函数 $y=a^x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 的反函数，其图像经过点 $\left(\sqrt{a},a\right)$ ，则 $f\left(x\right)=$ （ ）

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n>0,n=1,2\dots$ ，且 $a_5\cdot a_{2n-5}=2^{2n}\left(n\ge 3\right)$ ，则当 $n\ge 1$ 时， ${\mathit{log}}_2{a}_1+{\mathit{log}}_2{a}_3+\dots +{\mathit{log}}_2{a}_{2n-1}=$ （ ）

给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（ ）

一质点受到平面上的三个力 $F_1,F_2,F_3$ （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 $F_1,F_2$ 成 $60°$ 角，且 $F_1,F_2$ 的大小分别为２和４，则 $F_3$ 的大小为（ ）

2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）

已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 $v_{甲}和v_{乙}$ （如下图所示）．那么对于图中给定的 $t_0和t_1$ ，下列判断中一定正确的是（ ）

随机抽取某产品 $n$ 件，测得其长度分别为 $a_1,a_2,\dots a_n$ ，则下图所示的程序框图输出的 $s=$       ， $s$ 表示的样本的数字特征是       ．（注：框图中的赋值符号"="也可以写成"←""：="）

若平面向量 $a,b$ 满足 $\left|a+b\right|=1$ ， $a+b$ 平行于 $x$ 轴， $b=\left(2,-1\right)$ ，则 $a=$       ．

已知椭圆 $G$的中心在坐标原点，长轴在 $x$轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $G$一点到 $G$的两个焦点的距离之和为 $12$，则椭圆 $G$的方程为       ．

已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下图．若 $\mathit{EX}=0$ ， $\mathit{DX}=1$ ，则 $a=$       ， $b=$       ．

若直线 $l_1:\left\{\begin{array}{c}x=1-2t,\\ y=2+\mathit{kt}.\end{array}\right.\left(t\mathit{为参数}\right)$ 与直线 $l_2:\left\{\begin{array}{c}x=s,\\ y=1-2s.\end{array}\right.\left(s\mathit{为参数}\right)$ 垂直，则 $k=$       ．

不等式 $\frac{\left|x+1\right|}{\left|x+2\right|}\ge 1$的实数解为       ．

如下图，点 $A,B,C$ 是圆 $O$ 上的点， 且 $\mathit{AB}=4,\angle \mathit{ACB}=45^0$ ，则圆 $O$ 的面积等于       ．

已知向量 $a=(\mathit{sin}\theta ,-2)与b=(1,\mathit{cos}\theta )$互相垂直，其中 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$．

（1）求 $\mathit{sin}\theta 和\mathit{cos}\theta$的值；

（2）若 $\mathit{sin}(\theta -\phi )=\frac{\sqrt{10}}{10},0<\phi <\frac{\pi }{2}$，求 $\mathit{cos}\phi$的值．     

根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（ 365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 $[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如下图.

（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^7=78125,2^7=128,\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{123}{9125},365=73\times 5$ ）

如下图，已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为２，点Ｅ是正方形 $\mathit{BC}{C}_1{B}_1$的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_1{D}_1,A{A}_1$的中点．设点 $E_1,G_1$分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $\mathit{FGAE}$在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F{G}_1\perp \mathit{平面}\mathit{FE}{E}_1$；

（３）求异面直线 $E_1{G}_1与\mathit{EA}$所成角的正弦值.

已知曲线 $C:y=x^2$与直线 $l:x-y+2=0$交于两点 $A(x_A,y_A)$和 $B(x_B,y_B)$，且 $x_A<x_B$．记曲线 $C$在点 $A$和点 $B$之间那一段 $L$与线段 $\mathit{AB}$所围成的平面区域（含边界）为 $D$．设点 $P(s,t)$是 $L$上的任一点，且点 $P$与点 $A$和点 $B$均不重合．

（１）若点 $Q$是线段 $\mathit{AB}$的中点，试求线段 $\mathit{PQ}$的中点 $M$的轨迹方程；

（２）若曲线 $G:x^2-2\mathit{ax}+y^2-4y+a^2+\frac{51}{25}=0$与点 $D$有公共点，试求 $a$的最小值．

已知二次函数 $y=g\left(x\right)$的导函数的图像与直线 $y=2x$平行，且 $y=g\left(x\right)$在 $x=-1$处取得极小值 $m-1(m\ne 0)$．设 $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x}$．

（１）若曲线 $y=f\left(x\right)$上的点 $P$到点 $Q(0,2)$的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$的值；

（２） $k(k\in R)$如何取值时，函数 $y=f\left(x\right)-\mathit{kx}$存在零点，并求出零点．

已知曲线 $C_n:x^2-2\mathit{nx}+y^2=0(n=1,2,\dots )$．从点 $P(-1,0)$向曲线 $C_n$引斜率为 $k_n(k_n>0)$的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$．

（１）求数列 $\left\{x_n\right\}与\left\{y_n\right\}$的通项公式；

（２）证明： $x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdot \cdots \cdot x_{2n-1}<\sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}}<\sqrt{2}\mathit{sin}\frac{x_n}{y_n}$