2022年中考数学专题：二次函数（一）

将函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象向下平移两个单位，以下错误的是 $($ 　　 $)$

用数形结合等思想方法确定二次函数 $y=x^2+2$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象的交点的横坐标 $x_0$ 所在的范围是 $($ 　　 $)$

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle A=90°$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=8$ ，点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内一点，则 $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$ 取得最小值时，下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

设 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上的两个动点，且 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$ ．连接点 $A$ 、 $B$ ，过 $O$ 作 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ 于点 $C$ ，则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值 $($ 　　 $)$

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A(-2,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OB}=2\mathit{OC}$ ，则下列结论：① $\frac{a-b}{c}>0$ ；② $2b-4\mathit{ac}=1$ ；③ $a=\frac{1}{4}$ ；④当 $-1<b<0$ 时，在 $x$ 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 左边），使得 $\mathit{AN}\perp \mathit{BM}$ ，其中正确的有 $($ 　　 $)$

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$ ，顶点是 $(-1,m)$ ，则以下结论：① $\mathit{abc}>0$ ；② $4a+2b+c>0$ ；③若 $y⩾c$ ，则 $x⩽-2$ 或 $x⩾0$ ；④ $b+c=\frac{1}{2}m$ ．其中正确的有 $($ 　　 $)$ 个．

定义： $[a$， $b$， $c]$为二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的特征数，下面给出特征数为 $[m$， $1-m$， $2-m]$的二次函数的一些结论：①当 $m=1$时，函数图象的对称轴是 $y$轴；②当 $m=2$时，函数图象过原点；③当 $m>0$时，函数有最小值；④如果 $m<0$，当 $x>\frac{1}{2}$时， $y$随 $x$的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　　．

将抛物线 $y=-x^2-2x+3$ 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过 $($ 　　 $)$

如图，直线 $y=-2x+2$ 与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $y=-x+3$ 于点 $Q$ ， $\mathit{\Delta OPQ}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45°$ ，边 $\mathit{PQ}$ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是 $($ 　　 $)$

下表中列出的是一个二次函数的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值：

下列各选项中，正确的是 $($ 　　 $)$

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，若抛物线 $y=x^2+2x+k$与 $x$轴只有一个交点，则 $k=$　　．

如图是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的部分图象，图象过点 $(3,0)$ ，对称轴为直线 $x=1$ ，有下列四个结论：① $\mathit{abc}>0$ ；② $a-b+c=0$ ；③ $y$ 的最大值为3；④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$ 有实数根．其中正确的为 　　（将所有正确结论的序号都填入）．

从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 $y$（单位： $m)$与它距离喷头的水平距离 $x$（单位： $m)$之间满足函数关系式 $y=-2x^2+4x+1$喷出水珠的最大高度是 　　 $m$．

把抛物线 $y=2x^2+1$向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　    　．

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $(3,4)$， $M$是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当 $\frac{b}{a}$的值确定时，抛物线的对称轴上能使 $\mathit{\Delta AOM}$为直角三角形的点 $M$的个数也随之确定，若抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$的对称轴上存在3个不同的点 $M$，使 $\mathit{\Delta AOM}$为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$的值是 　　．

以初速度 $v$ （单位： $m/s)$ 从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度 $h$ （单位： $m)$ 与小球的运动时间 $t$ （单位： $s)$ 之间的关系式是 $h=\mathit{vt}-4.9t^2$ ．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为 $v_1$ ，经过时间 $t_1$ 落回地面，运动过程中小球的最大高度为 $h_1$ （如图 $1)$ ；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为 $v_2$ ，经过时间 $t_2$ 落回地面，运动过程中小球的最大高度为 $h_2$ （如图 $2)$ ．若 $h_1=2h_2$ ，则 $t_1:t_2=$ 　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A(2,4)$ 在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，分别过点 $C$ 、 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于 $E$ 、 $F$ 两点．当四边形 $\mathit{CDFE}$ 为正方形时，线段 $\mathit{CD}$ 的长为 　　．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的函数图象经过点 $(1,2)$，且与 $x$轴交点的横坐标分别为 $x_1$、 $x_2$，其中 $-1<x_1<0$， $1<x_2<2$，下列结论：① $\mathit{abc}>0$；② $2a+b<0$；③ $4a-2b+c>0$；④当 $x=m(1<m<2)$时， $a{m}^2+\mathit{bm}<2-c$；⑤ $b>1$，其中正确的有 　　．（填写正确的序号）

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$是常数）， $a+b+c=0$．下列四个结论：

①若抛物线经过点 $(-3,0)$，则 $b=2a$；

②若 $b=c$，则方程 $c{x}^2+\mathit{bx}+a=0$一定有根 $x=-2$；

③抛物线与 $x$轴一定有两个不同的公共点；

④点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$在抛物线上，若 $0<a<c$，则当 $x_1<x_2<1$时， $y_1>y_2$．

其中正确的是 　　（填写序号）．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2﹣2x+c（a\ne 0）$与x轴交于 $A、B（3，0）$两点，与y轴交于点 $C（0\mathit{，﹣}3）$，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与 $△\mathit{BCD}$相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与坐标轴交于 $A(0,-2)$ ， $B(4,0)$ 两点，直线 $\mathit{BC}:y=-2x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $\mathit{DG}$ 分别交直线 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的表达式；

（2）当 $\mathit{GF}=\frac{1}{2}$ 时，连接 $\mathit{BD}$ ，求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $\mathit{BEHF}$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $\mathit{PH}=\mathit{PC}+2$ ，求 $\mathit{\Delta PHB}$ 周长的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+c(a\ne 0)$ 经过点 $P(3,0)$ 、 $Q(1,4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $A$ 在直线 $\mathit{PQ}$ 上，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，以 $\mathit{AB}$ 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．

①当 $Q$ 与 $A$ 重合时，求 $C$ 到抛物线对称轴的距离；

②若 $C$ 在抛物线上，求 $C$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $C(-1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,3)$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是抛物线第一象限上的一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$ 于点 $P$ ，使 $\mathit{PF}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$ ，以 $\mathit{PE}$ ， $\mathit{PF}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEGF}$ ．当矩形 $\mathit{PEGF}$ 的面积是 $\mathit{\Delta BOC}$ 面积的3倍时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，当点 $P$ 运动到抛物线的顶点时，点 $Q$ 在直线 $\mathit{PD}$ 上，若以点 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 $Q$ 纵坐标 $n$ 的取值范围．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $C(2,-3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B(8,0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $\mathit{AB}$ 的表达式；

（3）判断 $\mathit{\Delta ABO}$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $\odot O$ 上的动点，且 $\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AP}$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\mathit{PB}$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．

二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的图象交 $x$轴于原点 $O$及点 $A$．

感知特例

（1）当 $m=1$时，如图1，抛物线 $L:y=x^2-2x$上的点 $B$， $O$， $C$， $A$， $D$分别关于点 $A$中心对称的点为 $B\text{'}$， $O\text{'}$， $C\text{'}$， $A\text{'}$， $D\text{'}$，如表：

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 $L^{\text{'}}$．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象 $L^{\text{'}}$上的点和抛物线 $L$上的点关于点 $A$中心对称，则称 $L^{\text{'}}$是 $L$的“孔像抛物线”．例如，当 $m=-2$时，图2中的抛物线 $L^{\text{'}}$是抛物线 $L$的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当 $m=-1$时，若抛物线 $L$与它的“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$的函数值都随着 $x$的增大而减小，则 $x$的取值范围为 　　；

②在同一平面直角坐标系中，当 $m$取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的所有“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　　（填“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$”或“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}$”或“ $y=a{x}^2+c$”或“ $y=a{x}^2$”，其中 $\mathit{abc}\ne 0)$；

③若二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$及它的“孔像抛物线”与直线 $y=m$有且只有三个交点，求 $m$的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+3(a\ne 0)$ ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）把抛物线沿 $y$ 轴向下平移 $3\left|a\right|$ 个单位，若抛物线的顶点落在 $x$ 轴上，求 $a$ 的值；

（3）设点 $P(a,y_1)$ ， $Q(2,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1>y_2$ ，求 $a$ 的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $(1,m)$和点 $(3,n)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$上．

（1）若 $m=3$， $n=15$，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $(-1,y_1)$， $(2,y_2)$， $(4,y_3)$在该抛物线上．若 $\mathit{mn}<0$，比较 $y_1$， $y_2$， $y_3$的大小，并说明理由．