2012年全国统一高考理科数学试卷（湖南卷）

设集合 $M=\{-1,0,1\}$， $N=\left\{x\right|x2\le x\}$，则 $M\cap N=$

命题"若 $a=\frac{\pi }{4}$，则 $\tan a=1$"的逆否命题是

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（   ）

设某大学的女生体重 $y$（单位： $kg$）与身高 $x$（单位： $cm$）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_i,y_i)(i=1,2,\dots ,n)$，用最小二乘法建立的回归方程为 $\stackrel{⏜}{y}=0.85x-85.71$，则下列结论中不正确的是

已知双曲线 $C:$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦距为10 ，点 $P(2,1)$在 $C$的渐近线上，则 $C$的方程为

函数 $f\left(x\right)=\sin x-\cos (x+\frac{\mathrm{\pi }}{6})$的值域为（）

在 $∆ABC$中, $AB=2,AC=3,\stackrel{\rightharpoonup }{AB}·\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=1$，则 $BC=$（）

已知两条直线 $l_1:y=m$和 $l_2:y=\frac{8}{2m+1}(m>0)$， $l_1$与函数 $y=\left|{\log }_{2}x\right|$的图像从左至右相交于点 $A,B$ ， $l_2$与函数 $y=\left|{\log }_{2}x\right|$的图像从左至右相交于 $C,D$ .记线段 $AC$和 $BD$在 $x$轴上的投影长度分别为 $a,b$ ,当 $m$变化时， $\frac{b}{a}$的最小值为

在直角坐标系 $xOy$中，已知曲线 $C_1:\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=1-2t\end{array}$ ( $t$为参数)与曲线 $C_2:\{\begin{array}{c}x=a\sin \theta \\ y=3\cos \theta \end{array}$( $\theta$为参数， $a>0$) 有一个公共点在 $x$轴上，则 $a=$.

不等式 $\left|2x+1\right|-2\left|x-1\right|>0$的解集为.

如图，过点 $P$的直线与圆 $O$相交于 $A$， $B$两点.若 $PA$=1， $AB$=2， $PO$=3，则圆 $O$的半径等于.

已知复数 $z={\left(3+i\right)}^2$( $i$为虚数单位)，则 $\left|z\right|=$.

$(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^6$的二项展开式中的常数项为    .（用数字作答）

如果执行如图所示的程序框图，输入 $x=-1,n=3$,则输出的数 $S=$.

函数 $f\left(x\right)=\sin (\omega x+\phi )$的导函数 $y=f`\left(x\right)$的部分图像如图所示，其中， $P$为图像与 $y$轴的交点， $A,C$为图像与 $x$轴的两个交点， $B$为图像的最低点.
（1）若 $\phi =\frac{\pi }{6}$，点 $P$的坐标为 $(0,\frac{3\sqrt{3}}{2})$，则 $\phi =$;
（2）若在曲线段 $\stackrel{⏜}{ABC}$与 $x$轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $△ABC$内的概率为.

设 $N=2^n(n\in N^{+},n\ge 2)$，将 $N$个数 $x_1,x_2,...x_n$依次放入编号为1,2，…， $N$的 $N$个位置，得到排列 $P_0=x_1{x}_2...x_N$.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\frac{N}{2}$和后 $\frac{N}{2}$个位置，得到排列 $P_1=x_1{x}_3...x_{N-1}{x}_2{x}_4...x_N$，将此操作称为 $C$变换，将 $P_1$分成两段，每段 $\frac{N}{2}$个数，并对每段作 $C$变换，得到 $p_2$；当 $2\le i\le n-2$时，将 $P_i$分成 $2^i$段，每段 $\frac{N}{2^i}$个数，并对每段 $C$变换，得到 $P_{i+1}$，例如，当 $N=8$时， $P_2=x_1{x}_5{x}_3{x}_7{x}_2{x}_6{x}_4{x}_8$，此时 $x_7$位于 $P_2$中的第4个位置.
（1）当 $N=16$时， $x_7$位于 $P_2$中的第个位置；
（2）当 $N=2^n(n\ge 8)$时， $x_{173}$位于 $P_4$中的第个位置.

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$， $y$的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中， $PA\perp$平面 $ABCD$， $AB$=4， $BC$=3， $AD$=5， $\angle DAB$= $\angle ABC$=90°， $E$是 $CD$的中点.

（Ⅰ）证明： $CD\perp$平面 $PAE$；
（Ⅱ）若直线 $PB$与平面 $PAE$所成的角和 $PB$与平面 $ABCD$所成的角相等，求四棱锥 $P-ABCD$的体积.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的各项均为正数，记 $A_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$， $B_n=a_2+a_3+...+a_{n+1}$， $C_n=a_3+a_4+...+a_{n+2}$， $n=1,2,$……
（1）若 $a_1=1$， $a_2=5$，且对任意 $n\in N$﹡，三个数 $A\left(n\right)$， $B\left(n\right)$， $C\left(n\right)$组成等差数列，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式.
（2）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 $n\in N^{+}$，三个数 $A\left(n\right)$， $B\left(n\right)$， $C\left(n\right)$组成公比为 $q$的等比数列.

某企业接到生产3000台某产品的 $A,B,C$三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产 $A$部件６件，或 $B$部件３件，或 $C$部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 $B$部件的人数与生产 $A$部件的人数成正比，比例系数为 $k$（ $k$为正整数）.
（１）设生产 $A$部件的人数为 $x$，分别写出完成 $A,B,C$三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

在直角坐标系 $xOy$中，曲线 $C_1$的点均在 $C_2:{\left(x-5\right)}^2+y^2=9$外，且对 $C_1$上任意一点 $M,M$到直线 $x=-2$的距离等于该点与圆 $C_2$上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线 $C_1$的方程；
（Ⅱ）设 $P\left(x_0,y_0\right)\left(y_0\ne \pm 3\right)$为圆 $C_2$外一点，过 $P$作圆 $C_2$的两条切线，分别与曲线 $C_1$相交于点 $A,B$和 $C,D$.

证明：当 $P$在直线 $x=-4$上运动时，四点 $A,B,C,D$的纵坐标之积为定值.

已知函数 $f\left(x\right)=e^{ax}-x$，其中 $a\ne 0$

（1）若对一切 $x\in R,f\left(x\right)⩾1$恒成立，求 $a$的取值集合.
（2）在函数 $f\left(x\right)$的图像上取定两点 $A\left(x_1,f\left(x_1\right)\right),B\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)\left(x_1<x_2\right)$，记直线 $AB$的斜率为 $K$，问：是否存在 $x_0\in \left(x_1,x_2\right)$，使 $f`\left(x_0\right)>k$成立？若存在，求 $x_0$的取值范围；若不存在，请说明理由.