2012年全国统一高考理科数学试卷（江西卷）

若集合 $A=\{-1,1\}$， $B=\{0,2\}$,则集合 $｛z︱z=x+y,x\in A,y\in B｝$中的元素的个数为（）

下列函数中，与函数 $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$定义域相同的函数为

若函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^2+1,x\le 1\\ \frac{2}{x},x>1\end{array}$，则 $f\left(f\right(10\left)\right)=$(   )

若 $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=4$,则 $\sin 2\theta$=

下列命题中，假命题为

观察下列各式： $a+b=1$. $a^2+b^2=3$， $a^3+b^{3=4}$， $a^4+b^4=7,a^5+b^5=11$, $\dots$，则 $a^{10}+b^{10}=$（）

在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 $\frac{{\left|PA\right|}^2+{\left|PB\right|}^2}{{\left|PC\right|}^2}=$（）

某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为

样本 $(x_1,x_2...,x_n)$的平均数为 $x$，样本 $(y_1,y_2...,y_n)$的平均数为 $\bar{y}(\bar{x}\ne \bar{y})$.若样本 $(x_1,x_2...x_n,y_1,y_2...y_n)$的平均数 $\bar{z}=a\bar{x}+(1-a)\bar{y}$，其中 $0<a<\frac{1}{2}$，则 $n,m$的大小关系为

如图，已知正四棱锥 $S-ABCD$所有棱长都为1，点 $E$是侧棱 $SC$上一动点，过点 $E$垂直于 $SC$的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记 $SE=x\left(0<x<1\right)$，截面下面部分的体积为 $V\left(x\right)$，则函数 $y=V\left(x\right)$的图像大致为（）

计算定积分 ${\int }_{-1}^1\left(x^2+\sin x\right)dx=$。

设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$都是等差数列，若 $a_1+b_1=7,a_3+b_3=21$，则 $a_5+b_5=$

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右顶点分别是 $A,B$,左、右焦点分别是 $F_1,F_2$.若 $\left|A{F}_1\right|,\left|F_1{F}_2\right|,\left|F_{1}B\right|$成等比数列，则此椭圆的离心率为.

下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.

曲线 $C$的直角坐标方程为 $x^2+y^2-2x=0$，以原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线 $C$的极坐标方程为。

在实数范围内，不等式 $|2x-1|+|2x+1|\le 6$的解集为.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=-\frac{1}{2}{n}^2+kn(k\in N^{*})$,且 $S_n$的最大值为8.
（1）确定常数 $k$，求 $a_n$；
（2）求数列 $\left\{\frac{9-2a_{n_{}}}{2^n}\right\}$的前 $n$项和 $T_n$.

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$.已知， $A=\frac{\pi }{4},b\sin (\frac{\pi }{4}+C)-c\sin (\frac{\pi }{4}+B)=a$.
（1）求证： $B-C=\frac{\pi }{2}$;

（2）若 $a=\sqrt{2}$，求 $△ABC$的面积.

如图，从 $A_1$（1,0,0）， $A_2$（2,0,0）， $B_1$（0，2，0）， $B_2$（0,2,0）， $C_1$（0,0,1）， $C_2$（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点 $O$两两相连构成一个"立体"，记该"立体"的体积为随机变量 $V$（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时"立体"的体积 $V=0$）。

（1）求 $V=0$的概率；
（2）求 $V$的分布列及数学期望。

在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中，已知 $AB=AC=A{A}_1=\sqrt{5}$， $BC=4$，在 $A_1$在底面 $ABC$的投影是线段 $BC$的中点 $O$。

（1）证明在侧棱 $A{A}_1$上存在一点 $E$，使得 $OE\perp$平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，并求出 $AE$的长；
（2）求平面 $A_1{B}_{1}C$与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$夹角的余弦值。

已知三点 $O(0,0),A(-2,1),B(2,1)$，曲线 $C$上任意一点 $M\left(x,y\right)$满足 $\stackrel{\rightharpoonup }{MA}+\stackrel{\rightharpoonup }{MB}=\stackrel{\rightharpoonup }{OM}·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{OA}+\stackrel{\rightharpoonup }{OB}\right)+2$.
（1）求曲线 $C$的方程；
（2）动点 $Q(x_0,y_0)(-2＜x_0＜2)$在曲线 $C$上，曲线 $C$在点 $Q$处的切线为 $1$，问：是否存在定点 $P\left(0,t\right)\left(t<0\right)$，使得 $1$与 $PA,PB$都不相交，交点分别为 $D,E$，且 $△QAB$与 $△PDE$的面积之比是常数？若存在，求 $t$的值。若不存在，说明理由。

若函数 $h\left(x\right)$满足
（1） $h\left(0\right)=1,h\left(1\right)=0$；
（2）对任意 $a\in [0,1]$，有 $h\left(h\right(a\left)\right)=a$；
（3）在（0,1）上单调递减。则称 $h\left(x\right)$为补函数。已知函数 $h\left(x\right)=\left(\frac{1-x^p}{1+\lambda x^p}{)}^{\frac{1}{p}}\right(\lambda >-1,p>0)$.

（1）判函数 $h\left(x\right)$是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m\in [0,1]$，使得 $h\left(m\right)=m$，若 $m$是函数 $h\left(x\right)$的中介元，记 $p=\frac{1}{n}(n\in N^{*})$时 $h\left(x\right)$的中介元为 $x_n$，且 $S_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i$，若对任意的 $n\in N_{+}$，都有 $S_n<\frac{1}{2}$,求 $\lambda$的取值范围；
（3）当 $\lambda =0$， $x\in (0,1)$时，函数 $y=h\left(x\right)$的图像总在直线 $y=1-x$的上方，求P的取值范围。