2012年全国统一高考文科数学试卷（四川卷）

设集合 $A=\left\{a,b\right\},B=\left\{b,c,d\right\}$,则 $A\cup B=$（）

${\left(1+x\right)}^7$的展开式中 $x^2$的系数是（）

交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 $N$，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数 $N$为（）

函数 $y=ax-a \left(a>0,a\ne 1\right)$的图象可能是（）

如图，正方形 $ABCD$的边长为1，延长 $BA$至 $E$，使 $AE=1$，连接 $EC,ED$、则 $\sin \angle CED$=（  ）

下列命题正确的是（）

设 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$都是非零向量，下列四个条件中，使 $\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{b}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|}$成立的充分条件是（  ）

若变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x-y\ge -3\\ x+2y\le 12\\ 2x+y\le 12\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$，则 $z=3x+4y$的最大值是（  ）

已知抛物线关于 $x$轴对称，它的顶点在坐标原点 $O$，并且经过点 $M\left(2,y_0\right)$。若点 $M$到该抛物线焦点的距离为 $3$，则 $\left|OM\right|=$（）

如图，半径为 $R$的半球 $O$的底面圆 $O$在平面 $\alpha$内，过点 $O$作平面 $\alpha$的垂线交半球面于点 $A$，过圆 $O$的直径 $CD$作平面 $\alpha$成 $45°$角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$满足 $\angle BOP=60°$，则 $A$、 $P$两点间的球面距离为（）

方程 $ay=b^2{x}^2+c$中的 $a,b,c\in \left\{-2,0,1,2,3\right\}$，且 $a,b,c$互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）

设函数 $f\left(x\right)=(x-3{)}^3+x-1$， $\left\{a_n\right\}$是公差不为0的等差数列， $f\left(a_1\right)+f\left(a_2\right)+...+f\left(a_7\right)=14$，则 $a_1+a_2+...+a_7=$（  ）

函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$的定义域是.（用区间表示）

如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M,N$分别是 $CD,C{C}_1$的中点，则异面直线 $A_{1}M$与 $DN$所成的角的大小是.

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1(a$为定值，且 $a>\sqrt{5}$的的左焦点为 $F$，直线 $x=m$与椭圆相交于点 $A$、 $B$， $△FAB$的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是。

设 $a,b$为正实数，现有下列命题：
①若 $a^2-b^2=1$，则 $a-b<1$；
②若 $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$，则 $a-b<1$；
③若 $\left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|=1$，则 $\left|a-b\right|<1$；
④若 $\left|a^3-b^3\right|=1$，则 $\left|a-b\right|<1$.

其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） $A$和 $B$，系统 $A$和系统 $B$在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$和 $P$。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$，求的 $P$值；

（Ⅱ）求系统 $A$在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

已知函数 $f\left(x\right)={\cos }^2\frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\frac{1}{2}$.
（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若 $f\left(a\right)=\frac{3\sqrt{2}}{10}$，求 $\sin 2a$的值.

如图，在三棱锥 $P-ABC$中， $\angle APB=90°$， $\angle PAB=60°$， $AB=BC=CA$，点 $P$在平面 $ABC$内的射影 $O$在 $AB$上。

（Ⅰ）求直线 $PC$与平面 $ABC$所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角 $B-AP-C$的大小。

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，常数 $\lambda >0$，且 $\lambda a_1{a}_n=S_1+S_n$对一切正整数 $n$都成立.
（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设 $a_1>0$， $\lambda =100$，当 $n$为何值时，数列 $\left\{lg\frac{1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和最大？

如图，动点 $M$与两定点 $A\left(-1,0\right)$、 $B\left(1,0\right)$构成 $△MAB$，且直线 $MA,MB$的斜率之积为4，设动点 $M$的轨迹为 $C$。

（Ⅰ）求轨迹 $C$的方程；
（Ⅱ）设直线 $y=x+m\left(m>0\right)$与 $y$轴交于点 $P$，与轨迹 $C$相交于点 $Q,R$，且 $\left|PQ\right|<\left|PR\right|$，求 $\frac{\left|PR\right|}{\left|PQ\right|}$的取值范围。

已知 $a$为正实数， $n$为自然数，抛物线 $y=-x^2+\frac{a^n}{2}$与 $x$轴正半轴相交于点 $A$，设 $f\left(n\right)$为该抛物线在点 $A$处的切线在 $y$轴上的截距。
（Ⅰ）用 $a$和 $n$表示；
（Ⅱ）求对所有 $n$都有 $\frac{f\left(n\right)-1}{f\left(n\right)+1}\ge \frac{n}{n+1}$成立的 $a$的最小值；
（Ⅲ）当 $0<a<1$时，比较 $\frac{1}{f\left(1\right)-f\left(2\right)}+\frac{1}{f\left(2\right)-f\left(4\right)}+\dots +\frac{1}{f\left(n\right)-f\left(2n\right)}$与 $6·\frac{f\left(1\right)-f\left(n+1\right)}{f\left(0\right)-f\left(1\right)}$的大小，并说明理由。