2012年全国统一高考理科数学试卷（全国卷）

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\},B=\left\{\right(x,y\left)\right|x\in A,y\in A,x-y\in A\}$；,则 $B$中所含元素的个数为（  ）

将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（  ）

下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$的四个命题：其中的真命题为（  ）
$p_1:\left|z\right|=2$ $p_2:z^2=2i$ $p_3:z$的共轭复数为 $1+i$ $p_4:z$的虚部为-1

设 $F_1{F}_2$是椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左、右焦点， $P$为直线 $x=\frac{3a}{2}$上一点， $∆F_{2}P{F}_1$是底角为的等腰三角形，则 $E$的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

已知 $\left\{a_n\right\}$为等比数列， $a_4+a_7=2$， $a_5{a}_6=-8$，则 $a_1+a_{10}=$（）

A．

B．

C．

D．

如果执行下面的程序框图，输入正整数 $N(N\ge 2)$和实数 $a_1,a_2,...,a_n$，输出 $A,B$，则（   ）

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（  ）

等轴双曲线 $C$的中心在原点，焦点在 $x$轴上， $C$与抛物线 $y^2=16x$的准线交于 $A,B$两点， $\left|AB\right|=4\sqrt{3}$；则 $C$的实轴长为（）

已知 $\omega >0$，函数 $f\left(x\right)=\sin (\omega x+\frac{\mathrm{\pi }}{4})$在上单调递减.则 $\omega$的取值范围是（）

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{\ln (x+1)-x}$；则 $y=f\left(x\right)$的图像大致为（）

已知三棱锥 $S-ABC$的所有顶点都在球 $O$的求面上， $△ABC$是边长为 $1$的正三角形， $SC$为球 $O$的直径，且 $SC=2$；则此棱锥的体积为（）

设点在曲线 $y=\frac{1}{2}{e}^x$上，点 $Q$在曲线 $y=\ln （2x)$上，则 $\left|PQ\right|$最小值为（  ）

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$夹角为 $45°$^ ，且 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=1,\left|2\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=\sqrt{10}$；则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=$.

设 $x,y$满足约束条件: $\left\{\begin{array}{c}x,y\ge 0\\ x-y\ge -1\\ x+y\le 3\end{array}\right.$;则 $z=x-2y$的取值范围为.

某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $N(1000,{50}^2)$，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.

数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_{n+1}+{\left(-1\right)}^n{a}_n=2n-1$,则 $\left\{a_n\right\}$的前60项和为.

已知 $a,b,c$分别为 $∆ABC$三个内角 $A,B,C$的对边, $a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0$

（1）求 $A$

（2）若 $a=2$, $∆ABC$的面积为 $\sqrt{3}$,求 $b,c$.

某花店每天以每枝 $5$元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 $10$元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进 $16$枝玫瑰花，求当天的利润 $y$(单位：元)关于当天需求量 $n$（单位：枝， $n\in N$）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进 $16$枝玫瑰花， $X$表示当天的利润（单位：元），求 $X$的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $AC=BC=\frac{1}{2}A{A}_1$， $D$是棱 $A{A}_1$的中点， $D{C}_1\perp BD$.

（1）证明： $D{C}_1\perp BC$

（2）求二面角 $A_1-BD-C_1$的大小.

设抛物线 $C:x^2=2py\left(p>0\right)$的焦点为 $F$,准线为 $l$, $A\in C$,已知以 $F$为圆心, $FA$为半径的圆 $F$交 $l$于 $B,D$两点；
（1）若 $\angle BFD={90}^{°}$, $∆ABD$的面积为 $4\sqrt{2}$；求 $p$的值及圆 $F$的方程；
（2）若 $A,B,F$三点在同一直线 $m$上，直线 $n$与 $m$平行，且 $n$与 $C$只有一个公共点,求坐标原点到 $m,n$距离的比值.

已知函数 $f\left(x\right)$满足满足 $f\left(x\right)=f`\left(1\right)e^{x-1}-f\left(0\right)x+\frac{1}{2}{x}^2$；
（1）求 $f\left(x\right)$的解析式及单调区间；
（2）若 $f\left(x\right)\ge \frac{1}{2}{x}^2+ax+b$，求 $(a+1)b$的最大值.

如图， $D,E$分别为 $△ABC$边 $AB,AC$的中点，直线 $DE$交 $△ABC$的外接圆于 $F,G$两点，若 $CF\parallel AB$，证明：
（1） $CD=BC$；
（2） $△BCD=△GCB$

已知曲线 $C_1$的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \phi \\ y=3\sin \phi \end{array}\right.\left(\phi \mathrm{为参数}\right)$，以坐标原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_2$的坐标系方程是 $\rho =2$，正方形 $ABCD$的顶点都在 $C_2$上，且 $A,B,C,D$依逆时针次序排列，点 $A$的极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$

（1）求点 $A,B,C,D$的直角坐标；
（2）设 $P$为 $C_1$上任意一点，求 ${\left|PA\right|}^2+{\left|PB\right|}^2+{\left|PC\right|}^2+{\left|PD\right|}^2$的取值范围.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x+a\right|+\left|x-2\right|$

（1）当 $a=-3$时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 3$的解集；
（2）若 $f\left(x\right)\le \left|x-4\right|$的解集包含 $\left[1,2\right]$，求 $a$的取值范围.