2009年全国统一高考理科数学试卷（山东卷）

两县城 $A$和 $B$相聚20km，现计划在两县城外以 $AB$为直径的半圆弧 $\stackrel{⏜}{AB}$上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 $A$和城 $B$的总影响度为城 $A$与城 $B$的影响度之和，记 $C$点到城 $A$的距离为 $x$ $km$，建在 $C$ 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为 $y$,统计调查表明：垃圾处理厂对城 $A$的影响度与所选地点到城 $A$的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 $B$的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 $k$ ,当垃圾处理厂建在 $\stackrel{⏜}{AB}$的中点时，对称 $A$和城 $B$的总影响度为0.0065.

（Ⅰ）将 $y$表示成 $x$的函数；

（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧 $\stackrel{⏜}{AB}$上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由。

将函数 $y=\sin 2x$的图像向左平移 $\frac{\pi }{4}$个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（）

设椭圆 $E$: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a,b>0)$过 $M(2,\sqrt{2})$ ， $N(\sqrt{6},1)$两点， $O$为坐标原点，
（1）求椭圆 $E$的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$恒有两个交点 $A,B$,且 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{OB}$？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。

集合 $A=\left\{0,2,a\right\}$, $B=\left\{1,a^2\right\}$,若 $A\cup B=\left\{0,1,2,4,16\right\}$,则 $a$的值为（）

复数 $\frac{3-i}{1-i}$等于（）

已知 $\alpha ,\beta$表示两个不同的平面， $m$为平面 $\alpha$内的一条直线，则" $\alpha \perp \beta$"是" $m\perp \beta$"的（）

函数 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 的图像大致为（      ）

设 $P$是 $△ABC$所在平面内的一点， $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}+\stackrel{\rightharpoonup }{BA}=2\stackrel{\rightharpoonup }{BP}$，则（）

A．	$\stackrel{\rightharpoonup }{PA}+\stackrel{\rightharpoonup }{PB}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$	B．	$\stackrel{\rightharpoonup }{PC}+\stackrel{\rightharpoonup }{PA}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$
C．	$\stackrel{\rightharpoonup }{PB}+\stackrel{\rightharpoonup }{PC}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$	D．	$\stackrel{\rightharpoonup }{PA}+\stackrel{\rightharpoonup }{PB}+\stackrel{\rightharpoonup }{PC}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线与抛物线 $y=x^2+1$只有一个公共点，则双曲线的离心率为（    ）

A．

$\frac{5}{4}$

B．

5

C．

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

D．

$\sqrt{5}$

定义在 $R$上的函数 $f\left(x\right)$满足 $\{\begin{array}{c}{\log }_2(1-x),x\le 0\\ f(x-1)-f(x-2),x>0\end{array}$，则 $f\left(2009\right)$的值为

在区间[-1，1]上随机取一个数 $x,\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)$的值介于0到 $\frac{1}{2}$之间的概率为（）

已知定义在 $R$上的奇函数 $f\left(x\right)$满足 $f(x-4)=-f\left(x\right)$，且在区间[0,2]上是增函数,若方程 $f\left(x\right)=m(m>0)$在区间[-8,8]上有四个不同的根，则 $x_1+x_2+x_3+x_4=$.

不等式 $\left|2x-1\right|-\left|x-2\right|<0$的解集为.

若函数 $f\left(x\right)=a^x-x-a$&#xa0;( $a>0$且 $a\ne 1$)有两个零点，则实数 $a$的取值范围是.

某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（  ）

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 次；在 $A$ 处每 $P_3$ 投进一球得 分，在 $B$ 处每投进一球得 分；如果前两次得分之和超过 分即停止投篮，否则投第三次.同学在 $A$ 处的命 中率 $q_1$ 为 0，在 $B$ 处的命中率为 $q_2$ ，该同学选择先在 $A$ 处投一球，以后都在 $B$ 处投，用 $\zeta$ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

（1）求 $q_2$ 的值；
（2）求随 机变量 $\zeta$ 的数学期望 $E\zeta$ ；                         
（3）试比较该同学选择都在 $B$ 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

执行右边的程序框图，输出的 $T=$

$f\left(x\right)=\cos (2x+\frac{\pi }{3})+{\sin }^{2}x$.

（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设 $A,B,C$为 $△ABC$的三个内角，若 $\cos B=\frac{1}{3},f\left(\frac{c}{2}\right)=-\frac{1}{4}$，且 $C$为锐角，求 $\sin A$.

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知对任意的 $n\in N^{+}$，点 $(n,S_n）$，均在函数 $y=b^x+r(b>0$且 $b\ne 1,b,r$均为常数)的图像上.
（1）求 $r$的值；
（11）当 $b=2$时，记 $b_n=2({\log }_2{a}_n+1)(n\in N^{+})$，证明：对任意的 $n\in N^{+}$，不等式 $\frac{b_1+1}{b_1}·\frac{b_2+1}{b_2}......\frac{b_n+1}{b_n}>\sqrt{n+1}$成立.

如图，在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，底面 $ABCD$ 为等腰梯形， $AB//CD$ , $AB=4$ , $BC=CD=2$ , $A{A}_1=2$ , $E$ 、 $E_1$ 、 $F$ 分别是棱 $AD$ 、 $A{A}_1$ 、 $AB$ 的中点。

           
（Ⅰ）证明：直线 $E{E}_1//\mathrm{平面}FC{C}_1$ ；       
（Ⅱ）求二面角 $B-F{C}_1-C$ 的余弦值.