2010年全国统一高考文科数学试卷（广东卷）

若集合 $A=(0,1,2,3\}$ ， $B=\{1,2,4\}$ ，则集合 $A\cup B=$ （  ）

函数， $f\left(x\right)=lg(x-1)$的定义域是（   ）.

若函数 $f\left(x\right)=3^x+3^{-x}$与 $g\left(x\right)=3^x-3^{-x}$的定义域均为 $R$，则(   ).

已知数列 $\left\{a_n\right\}$为等比数列， $S_n$是它的前 $n$项和．若 $a_2·a_3=2a_1$，且 $a_4$与 $2a_7$的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5$=（   ）.

若向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,1)$， $\overline{b}=(2,5)$， $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(3,x)$=(3， $x$)满足条件 $(8\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b})·\stackrel{\rightharpoonup }{c}=30$，则 $x=$   .

若圆心在 $x$轴上、半径为 $\sqrt{5}$的圆 $O$位于 $y$轴左侧，且与直线 $x+2y=0$相切，则圆 $O$的方程是(   ).

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）

" $x>0$"是" $\sqrt[3]{x^2}>0$"成立的(   ).

如图， $△ABC$ 为正三角形， $AA`//BB`//CC`$ ， $CC`\perp \mathrm{平面}ABC且3AA`=\frac{3}{2}BB`=CC`=AB$ ，则多面体 $ABC-A`B`C`$ 的正视图(也称主视图)是（  ）

在集合 $\left\{a,b,c,d\right\}$ 上定义两种运算 $\overline{)+}$ 和 $\overline{)\times }$ 如下：

那么 $d\overline{)\times }\left(a\overline{)+}c\right)$ （  ）

某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为 $x_1,...x_4$ ，(单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若 $x_1,x_2,x_3,x_4$ ，分别为1,1.5,1.5，2，则输出的结果 $s$ 为    .

某市居民2005～2009年家庭年平均收入 $x$ （单位：万元）与年平均支出 $Y$ （单位：万元）的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是   ，家庭年平均收入与年平均支出有   线性相关关系.

已知 $a,b,c$分别是 $△ABC$的三个内角 $A,B,C$所对的边，若 $a=1,b=\sqrt{3},A+C=2B$，则 $\sin A=$   .

如图，在直角梯形 $ABCD$ 中， $DC\parallel AB$ ， $CB\perp AB$ ， $AB=DA=a$ ， $CD=\frac{a}{2}$ ，点 $E,F$ 分别为线段 $AB$ ， $CD$ 的中点，则 $EF$ =   .

在极坐标系 $(\rho ,\theta )(0\le \theta <2\pi )$中，曲线 $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=1$与 $\rho (\sin \theta -\cos \theta )=1$的交点的极坐标为      .

设函数 $f\left(x\right)=3\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right),\omega >0,x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$，且以 $\frac{\pi }{2}$为最小正周期．
（1）求 $f\left(0\right)$；
（2）求 $f\left(x\right)$的解析式；
（3）已知 $f\left(\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{9}{5}$，求 $\sin \alpha$的值．

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

$\stackrel{⏜}{AEC}$ 是半径为 $a$ 的半圆， $AC$ 为直径，点 $E$ 为 $\stackrel{⏜}{AC}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $AD$ 的三等分点，平面 $AEC$ 外一点 $F$ 满足 $FC\perp$ 平面 $BED$ ， $FB=\sqrt{5}a$ . 

（1）证明： $EB\perp FD$ ；
（2）求点 $B$ 到平面 $FED$ 的距离.

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素$C$；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素$C$.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素$C$.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

已知函数 $f\left(x\right)$对任意实数 $x$均有 $f\left(x\right)=kf\left(x+2\right)$，其中常数 $k$为负数，且 $f\left(x\right)$在区间 $\left[0,2\right]$上有表达式 $f\left(x\right)=x\left(x-2\right)$.
（1）求 $f\left(-1\right)$， $f\left(2.5\right)$的值；
（2）写出 $f\left(x\right)$在 $\left[-3,3\right]$上的表达式，并讨论函数 $f\left(x\right)$在 $\left[-3,3\right]$上的单调性；
（3）求出 $f\left(x\right)$在 $\left[-3,3\right]$上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

已知曲线 $C_n:y=n{x}^2$,点 $P_n\left(x_n,y_n\right)\left(x_n>0,y_n>0\right)$是曲线 $C_n$上的点 $\left(n=1,2,\cdots \right)$.
（1）试写出曲线 $C_n$在点 $P_n$处的切线 $l_n$的方程，并求出 $l_n$与 $y$轴的交点 $Q_n$的坐标；
（2）若原点 $O\left(0,0\right)$到 $l_n$的距离与线段 $P_n{Q}_n$的长度之比取得最大值，试求试点 $P_n$ $\left(x_n,y_n\right)$；
（3）设 $m$与 $k$为两个给定的不同的正整数， $x_n$与 $y_n$是满足（2）中条件的点 $P_n$的坐标，证明： $\underset{n=1}{\overset{s}{\sum }}\left|\sqrt{\frac{\left(m+1\right)x_n}{2}}-\sqrt{\left(k+1\right)y_k}\right|<\left|\sqrt{ms}-\sqrt{ks}\right|\left(s=1,2,\cdots \right)$