2010年高考试题分项版理科数学之专题二 函数

设函数 $f\left(x\right)=x\left(e^x+a{e}^{-x}\right),x\in R,$ 是偶函数，则实数 $a=$    .

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x\ge 0\\ 1,x<0\end{array}\right.$,则满足不等式 $f\left(1-x^2\right)>f\left(2x\right)$的x的范围是

将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 $S=$,则 $S$的最小值是.

设 $f\left(x\right)$使定义在区间 $(1,+\infty )$上的函数，其导函数为 $f`\left(x\right)$.如果存在实数 $a$和函数 $h\left(x\right)$，其中 $h\left(x\right)$对任意的 $x\in (1,+\infty )$都有 $h\left(x\right)>0$，使得 $f`\left(x\right)=h\left(x\right)(x^2-ax+1)$，则称函数 $f\left(x\right)$具有性质 $P\left(a\right)$.
(1)设函数 $f\left(x\right)=h\left(x\right)+\frac{b+2}{x+1}(x>1)$，其中 $b$为实数
①求证：函数 $f\left(x\right)$具有性质 $P\left(b\right)$;

②求函数 $f\left(x\right)$的单调区间
(2)已知函数 $g\left(x\right)$具有性质 $P\left(2\right)$，给定 $x_1,x_2\in (1,+\infty ),x_1<x_2$,设 $m$为实数. $\alpha =m{x}_1+(1-m)x_2,\beta =(1-m)x_1+m{x}_2$，且 $\alpha >1,\beta >1$，若 $\left|g\left(\alpha \right)-g\left(\beta \right)\right|<\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|$,求 $m$的取值范围

若 $f\left(x\right)$是 $R$上周期为5的奇函数，且满足 $f\left(1\right)=1,f\left(2\right)=2$，则 $f\left(3\right)-f\left(4\right)=$（）

设 $abc>0$ ，二次函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ 的图象可能是（  ）

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{2}^x+1,x<1\\ x^2+ax,x\ge 1\end{array}\right.$若 $f\left(f\left(0\right)\right)=4a$，则实数 $a$等于（）

某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 $y$与该班人数 $x$之间的函数关系用取整函数 $y=\left[x\right]$(" $\left[x\right]$表示不大于 $x$的最大整数)可以表示为（）

设 $f\left(x\right)$为定义在 $R$上的奇函数，当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)=2^x+2x+b$( $b$为常数)，则 $f(-1)=$

函数 $y=2^x-x^2$ 的图像大致是（  ）

若函数 $f\left(x\right)=3^x+3^{-x}$与 $g\left(x\right)=3^x-3^{-x}$的定义域均为 $R$，则(   )

函数 $f\left(x\right)=lg(x-1)$的定义域是.

函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-3,x\le 0\\ -2+\ln x,x>0\end{array}\right.$的零点个数为（）

对于具有相同定义域D的函数 $f\left(x\right)$和 $g\left(x\right)$，若存在函数 $h\left(x\right)=kx+b,(k,b$为常数），对任给的正数 $m$，存在相应的 $x_0\in D$，使得当 $x\in D$且 $x>x_0$时，总有 $\{\begin{array}{c}0<f\left(x\right)-h\left(x\right)<m\\ 0<h\left(x\right)-g\left(x\right)<m\end{array}$则称直线 $l:y=kx+b$为曲线 $y=f\left(x\right)$与的 $y=g\left(x\right)$"分渐近线"。给出定义域均为 $D=\{\overline{)x}x>1\}$的四组函数如下：
① $f\left(x\right)=x^2,g\left(x\right)=\sqrt{x}$;② $f\left(x\right)={10}^{-x}+2,g\left(x\right)=\frac{2x-3}{x}$;
③ $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x},g\left(x\right)=\frac{x\ln x+1}{\ln x}$;④ $f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x+1},g\left(x\right)=2(x-1-e^{-x})$.
其中，曲线 $y=f\left(x\right)$与 $y=g\left(x\right)$存在"分渐近线"的是

已知定义域为 $(0,+\infty )$的函数 $f\left(x\right)$满足：（1）对任意 $x\in (0,+\infty )$,恒有 $f\left(2x\right)=2f\left(x\right)$成立；（2）当 $x\in (1,2]$

①对任意 $m\in Z$,有 $f\left(2^m\right)=0$；

②函数 $f\left(x\right)$的值域为 $[0,+\infty )$;

③存在 $n\in Z$,使得 $f(2^n+1)=9$;

④"函数 $f\left(x\right)$在区间 $(a,b)$上单调递减"的充要条件是"存在 $k\in Z$,使得 $(a,b)$ $\subseteq$ $(2^k,2^{k+1})$".
其中所有正确结论的序号是。

如图放置的边长为1的正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动.设顶点 $p(x,y)$ 的轨迹方程是 $y=f\left(x\right)$ ，则 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ； $y=f\left(x\right)$ 在其两个相邻零点间的图像与 $x$ 轴所围区域的面积为 .

说明："正方形 $PABC$ 沿 $z$ 轴滚动"包括沿 $z$ 轴正方向和沿 $z$ 轴负方向滚动.沿 $z$ 轴正方向滚动指的是先以顶点 $A$ 为中心顺时针旋转，当顶点 $B$ 落在 $z$ 轴上时，再以顶点 $B$ 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 $PABC$ 可以沿 $z$ 轴负方向滚动.

设偶函数$f\left(x\right)$满足$f\left(x\right)=x^3-8(x\ge 0)$，则$\left\{\overline{)x}f\right(x-2)>0\}$=

已知函数$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\left|lgx\right|,0\le x\le 10\\ -\frac{1}{2}x+6,x>10\end{array}\right.$,若$a,b,c$互不相等，且$f\left(a\right)=f\left(b\right)=f\left(c\right)$则$abc$的取值范围是（）

函数$f\left(x\right)=2^x+3x$的零点所在的一个区间是（）

若函数$f\left(x\right)=$$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x,x>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(-x),x<0\end{array}\right.$,若$f\left(a\right)>f(-a)$,则实数$a$的取值范围是（）

设函数 $f\left(x\right)=x^2-1$，对任意 $x\in [\frac{2}{3},+\infty )$， $f\left(\frac{x}{m}\right)-4m^{2}f\left(x\right)\le f(x-1)+4f\left(m\right)$恒成立，则实数 $m$的取值范围是.

设函数 $f\left(x\right)=4\sin (2x+1)-x$，则在下列区间中函数 $f\left(x\right)$不存在零点的是

设函数的集合$P=\left\{f\right(x)={\log }_2(x+a)+\overline{)b}a=-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1;b=-1,0,1\}$，平面上点的集合$Q=\left\{\right(x,y\overline{))}x=-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1;y=-1,0,1\}$，则在同一直角坐标系中，$P$中函数$f\left(x\right)$的图象恰好经过$Q$中两个点的函数的个数是（）

给出下列三个命题：
①函数 $y=\frac{1}{2}\ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\mathrm{lnt}an\frac{x}{2}$ 是同一函数；
②若函数 $y=f\left(x\right)$ 与 $y=g\left(x\right)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f\left(2x\right)$ 与 $y=\frac{1}{2}g\left(x\right)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称；

③若奇函数 $f\left(x\right)$ 对定义域内任意 $x$ 都有 $f\left(x\right)=f\left(2-x\right)$ ,则 $f\left(x\right)$ 为周期函数．
其中真命题是（  ）

如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 $t$ 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S\left(t\right)\left(S\left(0\right)=0\right)$ ，则导函数 $y=S`\left(t\right)$ 的图像大致为（  ）

已知函数$f\left(x\right)$满足：$f\left(1\right)=\frac{1}{4}$，$4f\left(x\right)f\left(y\right)=f(x+y)+f(x-y)(x,y\in R)$，则$f\left(2010\right)$$=$.

函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$的反函数是

函数$f\left(x\right)=\frac{4^x+1}{2^x}$的图象（）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 $C$（单位：万元）与隔热层厚度 $x$（单位： $cm$）满足关系： $C\left(x\right)=\frac{k}{3x+5}\left(0\le x\le 10\right)$.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 $f\left(x\right)$为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 $k$的值及 $f\left(x\right)$的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 $f\left(x\right)$达到最小，并求最小值。

$2{\log }_{5}10＋{\log }_{5}0.25＝$（）

函数 $f\left(x\right)=x^2+mx+1$的图像关于直线 $x=1$对称的充要条件是

设 $f\left(x\right)=\frac{1+a^x}{1-a^x}(a>0且a\ne 1)$， $g\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的反函数.
（Ⅰ）设关于 $x$的方程求 ${\log }_a\frac{t}{(x^2-1)(7-x)}=g\left(x\right)$在区间 $\left[2,6\right]$上有实数解，求 $t$的取值范围；
（Ⅱ）当 $a＝e$（e为自然对数的底数）时，证明： $\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}g\left(k\right)>\frac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$；
（Ⅲ）当 $0＜a\le \frac{1}{2}$时，试比较 $\left|\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}f\left(k\right)-n\right|$与4的大小，并说明理由.

设 $a={\log }_{3}2,b=\ln 2,c=5^{-\frac{1}{2}}$，则(    )

已知函数 $f\left(x\right)=\left|lgx\right|$，若 $0<a<b$，且 $f\left(a\right)=f\left(b\right)$，则 $a+2b$的取值范围是（）

直线 $y=1$与曲线 $y=x^2-\left|x\right|+a$有四个交点，则 $a$的取值范围是