2010年高考试题分项版理科数学之专题三 数列

函数 $y=x^2(x>0)$的图像在点 $(a_{k_{}},{a_k}^2)$处的切线与 $x$轴交点的横坐标为 $a_{k+b}$, $k$为正整数， $a_1=6$，则 $a_1+a_3+a_5=$

设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$是公差为 $d$的等差数列.
①求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式（用 $n,d$表示）
②设 $c$为实数，对满足 $m+n=3k$且 $m\ne n$的任意正整数 $m,n,k$，不等式 $S_m+S_n>c{S}_k$都成立。求证： $c$的最大值为 $\frac{9}{2}$

设 $\left\{a_n\right\}$是任意等比数列,它的前 $n$项和,前 $2n$项和与前 $3n$项和分别为 $X,Y,Z$,则下列等式中恒成立的是（）

设数列 $a_1,a_2,\dots a_n\dots$中的每一项都不为0.
证明： $\left\{a_n\right\}$为等差数列的充分必要条件是：对任何 $n\in N$，都有 $\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+\dots +\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{n}{a_{{}_1}{a}_{n-1}}$.

对于数列 $\left\{a_n\right\}$，" $a_{n+1}>\left|a_n\right|(n=1,2,...)$"是" $\left\{a_n\right\}$为递增数列"的(    )

已知 $\left\{a_n\right\}$是公差不为零的等差数列， $a_1=1$且 $a_1,a_2,a_3$成等比数列
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式
（2）求数列的前n项和

若数列 $\left\{a_n\right\}$满足：对任意的 $n\in N^{+}$，只有有限个正整数 $m$使得 $a_m<n$成立，记这样的 $m$的个数为 $(a_n{)}^m$，则得到一个新数列 $\left\{\right(a_n{)}^m\}$．例如，若数列 $\left\{a_n\right\}$是 $1,2,3...,n,...$，则数列 $\left\{\right(a_n{)}^m\}$是 $0,1,2,...,n-1,...$．已知对任意的 $n\in N^{+}$， $a_n=n^2$，则 $(a_5{)}^m=$， $\left(\right(a_n{)}^m{)}^m=$.

数列 $\left\{a_n\right\}(n\in N^{*})$中， $a_1=a$, $a_{n+1}$是函数 $f_n\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(3a_n+n_2)x^2+3n^2{a}_{n}x$的极小值点.

（Ⅰ）当 $a=0$时，求通项 $a_n$；
（Ⅱ）是否存在 $a$，使数列 $\left\{a_n\right\}$是等比数列？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，请说明理由.

设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，则" $a_1<a_2<a_3$"是数列 $\left\{a_n\right\}$是递增数列的

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_3=7,a_5+a_1=26$， $\left\{a_n\right\}$的前n项和为 $S_n$．
（Ⅰ）求 $a_n$及 $S_n$；
（Ⅱ）令b_n= $b_n=\frac{1}{a_n^2-1}（n\in N*）$(nN^*)，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前n项和 $T_n$．

已知 $\left\{a_n\right\}$为等比数列， $S_n$是它的前 $n$项和。若 $a_2·a_3=2a_1$， 且 $a_4$与 $2a_7$的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5$ $=$（）

设等差数列 $｛a_n｝$前 $n$项和为 $S_n$ . 若 $a_1=-11,a_4+a_6=-6$,则当 $S_n$取最小值时， $n$等于（）

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$中，若公比 $q=4$，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 $a_n=$.

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1$，公比 $\left|q\right|\ne 1$.若 $a_m=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$，则 $m=$

设数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=2,a_{n+1}-a_n=3\times 2^{2n-1}$

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）令 $b_n=n{a}_n$，求数列的前 $n$项和 $S_n$.

已知$\left\{a_n\right\}$是首项为1的等比数列，$S_n$是$\left\{a_n\right\}$的前n项和，且$9S_3=S_5$，则数列$\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前5项和为

在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=0$，且对任意 $k\in N^{+},a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$成等差数列，其公差为 $d_k$.
（Ⅰ）若 $d_k=2k$，证明 $a_{2k},a_{2k+1},a_{2k+2}$成等比数列（ $k\in N^{+}$）
（Ⅱ）若对任意 $k\in N^{+}$， $a_{2k},a_{2k+1},a_{2k+2}$成等比数列，其公比为 $q_k$.证明：对任意 $n\ge 2,n\in N^{+}$,有 $\frac{3}{2}<2n-\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\frac{k^2}{a_k}\le 2$

设$\left\{a_n\right\}$是有正数组成的等比数列,$S_n$为其前$n$项和.已知$a_2{a}_4=1,S_3=7$,则$S_5=$（）

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=33,a_{n+1}-a_n=2n$则$\frac{a_n}{n}$的最小值为.

设$S_n$为等比数列$\left\{a_n\right\}$的前项和，$8a_2+a_3=0$，则$\frac{S_5}{S_2}=$（）

设$n\ge 2,n\in N,{\left(2x+\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(3x+\frac{1}{3}\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$，将$\left|a_k\right|\left(0\le k\le n\right)$的最小值记为$T_n$，则$T_2=0,T_3=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3},T_4=0,T_5=\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^5},\dots ,T_n,\dots$.其中$T_n=$ .

设 $a_1,d$为实数,首项为 $a_1$,公差为 $d$的等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$,满足 $S_5{S}_6+15=0$,则 $d$的取值范围是.

等比数列$\left\{a_n\right\}$中，$a_1=2,a_8=4$，函数$f\left(x\right)=x(x-a_1)(x-a_2)......(x-a_n)$，则$f`\left(0\right)=$

证明以下命题：
（1）对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b,c(b<c)$，使得 $a^2,b^2,c^2$成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形 ${△}_n$,其边长 $a_n,b_n,c_n$为正整数且 ${a_n}^2,{b_n}^2,{c_n}^2$成等差数列.

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_{2010}=8a_{2007}$ ,则公比 $q$ 的值为（  ）

在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1$， $a_{n+1}=c{a}_n+c^{n+1}（2n+1）(n\in N*）$，其中实数 $c\ne 0$.

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）若对一切 $k\in N*$有 $a_{2k}>a_{2k-1}$，求 $c$的取值范围。

如果等差数列$\left\{a_n\right\}$中，$a_3+a_4+a_5=12$，那么$a_1+a_2+\cdots +a_n=$（）

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=(n^2+n)3^n$．
（Ⅰ）求 $\underset{S\to \infty }{lim}\frac{a_n}{S_n}$；
（Ⅱ）证明： $\frac{a_1}{1^2}+\frac{a_2}{2^2}+...+\frac{a_n}{n^2}>3^n$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_1=\frac{1}{2}$， $\frac{3(1+a_{n+1})}{1-a_n}=\frac{2(1+a_n)}{1-a_{n+1}}$, $a_n{a}_{n+1}＜0（n\ge 1）$；数列 _{$\left\{b_n\right\}$}满足： $b_n={a_{n+1}}^2-{a_n}^2（n\ge 1）$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$中的任意三项不可能成等差数列。

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的首项 $a_1\ne 0$，其前 $n$项的和为 $S_n$，且 $S_{n+1}=2S_n+a_1$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{a_n}{S_n}=$（   ）

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意$m,n\in N*$都有$a_{2m－1}＋a_{2n－1}＝2a_{m＋n－1}＋2(m－n)2$
（Ⅰ）求$a_3,a_5$；
（Ⅱ）设$b_n＝a_{2n＋1}－a_{2n－1}(n\in N^{*})$，证明：$\left\{b_n\right\}$是等差数列；
（Ⅲ）设$c_n＝(a_{n+1}－a_n)q^{n－1}(q\ne 0，n\in N^{*})$，求数列$\left\{c_n\right\}$的前n项和$S_n$.

已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1{a}_2{a}_3=5,a_7{a}_8{a}_9=10$=，则 $a_4{a}_5{a}_6$=(   )

已知数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1,a_{n+1}=c-\frac{1}{a_n}$.
（Ⅰ）设 $c=\frac{5}{2},b_n=\frac{1}{a_n-2}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 $a_n<a_{n-1}<3$成立的 $c$的取值范围.