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2013年全国统一高考理科数学试卷(山东卷)

若复数 z 满足 ( z - 3 ) ( 2 - i ) = 5 ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为(   )

A. 2 + i B. 2 - i C. 5 + i D. 5 - i
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设集合 A = { 0 , 1 , 2 } ,则集合 B = { x - y x A , y A } 中元素的个数是(    )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
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已知函数 f x 为奇函数,且当 x > 0 时, f x = x 2 + 1 x ,则 f - 1 =(

A. - 2 B. 0 C. 1 D. 2
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已知三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面垂直,体积为 9 4 ,底面是边长为 3 的正三角形,若 P 为底面 A 1 B 1 C 1 的中心,则 P A 与平面 A B C 所成角的大小为(    )

A. 5 π 12 B. π 3 C. π 4 D. π 6
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将函数 y = sin ( 2 x + φ ) 的图象沿轴向左平移 π 8 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为(   )

A. 3 π 4 B. π 4 C. 0 D. - π 4
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在平面直角坐标系 x O y 中, M 为不等式组 { 2 x - y - 2 0 x + 2 y - 1 0 3 x + y - 8 0 ,所表示的区域上一动点,则直线 O M 斜率的最小值为(    )

A. 2 B. 1 C. - 1 3 D. - 1 2
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给定两个命题 p , q ,若 ¬ p q 的必要而不充分条件,则 p ¬ q 的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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函数 y = x cos x + sin x 的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

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过点 ( 3 , 1 ) 作圆 ( x - 1 ) 2 + y 2 = 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 A B 的方程为(

A. 2 x + y - 3 = 0 B. 2 x - y - 3 = 0
C. 4 x - y - 3 = 0 D. 4 x + y - 3 = 0
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用0,1,2,3,...9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(  )

A. 243 B. 252 C. 261 D. 279
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抛物线 C 1 : y = 1 2 p x 2 p > 0 的焦点与双曲线 C 2 : x 2 3 - y 2 = 1 的右焦点的连线交 C 1 于第一象限的点 M 。若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线。则 p =

A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3
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设正实数 x , y , z 满足 x 2 - 3 x y + 4 y 2 - z = 0 ,则当 x y z 取得最大值时, 2 x + 1 y - 2 z 的最大值为(   )

A. 0 B. 0 C. 9 4 D. 3
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执行下边的程序框图,若输入的 ε 的值为0.25,则输入的 n 的值.

image.png

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在区间 - 3 , 3 上随机取一个数 x ,使得 x + 1 - x - 2 1 成立的概率为.

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已知向量 A B A C 的夹角为 120 ° ,且 A B = 3 , A C = 2 ,若 A P = λ A B + A C ,且 A P B C ,则实数 λ 的值为.

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定义"正对数": l n + x = { 0 , 0 < x < 1 ln x , x 1 ,现有四个命题:
①若 a > 0 , b > 0 ,则 ln + ( a b ) = b ln + a
②若 a > 0 , b > 0 ,则 ln + ( a b ) = ln + a + ln + b
③若 a > 0 , b > 0 ,则 ln + ( a b ) ln + a - ln + b ;

④若 a > 0 , b > 0 ,则 ln + ( a + b ) ln + a + ln + b + ln 2

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A B C 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a + c = 6 , b = 2 , cos B = 7 9 .

(Ⅰ)求 a , c 的值;
(Ⅱ)求 sin A - B 的值.

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如图所示,在三棱锥 P A Q 中, P B 平面 A B Q B A = B Q = B P , D , C , E , F 分别是 A Q , B Q , A P , B P 的中点, A Q = 2 B D , P D E Q 交于 G , P C F Q 交于点 H ,连接 G H .
image.png

(Ⅰ)求证: A B G H
(Ⅱ)求二面角 D - G H - E 的余弦值.

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乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 3 .假设各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)分别求甲队以 3 : 0 , 3 : 1 , 3 : 2 胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为求 3 : 0 3 : 1 ,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分 对方得1分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

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设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 = 4 S 2 a 2 n = 2 a n + 1 .
(Ⅰ)求数列 a n 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 b n 的前 n 项和为 T n , T n + a n + 1 2 n = λ ( λ 为常数),令 c n = b 2 n ( n N * ) ,求数列 c n 的前 n 项和 R n .

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已知函数 f ( x ) = x e 2 x + c e = 2 . 71828 . . . 是自然对数的底数, c R ).
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间、最大值;
(Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x = f ( x ) 根的个数。

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椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左 右焦点分别是 F 1 , F 2 ,离心率为 3 2 ,过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 P F 1 , P F 2 ,设 F 1 P F 2 的角平分线 P M C 的长轴于点 M m , 0 ,求 m 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线的 P F 1 , P F 2 斜率分别为 k 1 , k 2 .若 k 0 ,试证明 1 k k 1 + 1 k k 2 为定值,并求出这个定值.

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