2007年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$的定义域为 $M$， $g\left(x\right)=\ln (1+x)$的定义域为 $N$，则 $M\cap N=$

若复数 $\left(1+bi\right)\left(2+i\right)$是纯虚数（ $i$是虚数单位， $b$为实数），则 $b=$（）

若函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x-\frac{1}{2}\left(x\in R\right)$，则 $f\left(x\right)$是（）

客车从甲地以60 $km/h$ 的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 $km/h$ 的速度行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 $s$ 与时间 $t$ 之间的关系图象中，正确的是（  ）

A． B．

C． D．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=n^2-9n$，第 $k$项满足 $5<a_n<8$，则 $k$=（）

图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为 $A_1,A_2,...,A_{10}$ （如 $A_2$ 表示身高（单位： $cm$ ）在 $[150,155)$ 内的人数].图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 $160~180cm$ （含 $160cm$ ，不含 $180cm$ ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（  ）

如图是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个维修点的某种配件各 $50$ 件，在使用前发现需将 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个维修点的这批配件分别调整为 $40$ 、 $45$ 、 $54$ 、 $61$ 件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ $n$ 个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 $n$ ）为（  ）

设 $S$是至少含有两个元素的集合.在 $S$上定义了一个二元运算"*"（即对任意的 $a,b\in S$,对于有序元素对 $(a,b)$，在 $S$中有唯一确定的元素 $a*b$与之对应）。若对于任意的 $a,b\in S$,有 $a*(b*a)=b$，则对任意的 $a,b\in S$,下列等式中不能成立的是

甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为(答案用分数表示)

若向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$满足 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=1$， $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$的夹角为60°，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}$=；

在直角坐标系 $xOy$中,有一定点 $A(2,1)$,若线段 $OA$的垂直平分线过抛物线 $y^2=2px(p>0)$的焦点，则该抛物线的准线方程是.

如果一个凸多面体是 $n$ 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有 $f\left(n\right)$ 对异面直线，则 $f\left(4\right)=$ ； $f\left(n\right)$ = (答案用数字或 $n$ 的解析式表示)

在平面直角坐标系 $xOy$中，直线l的参数方程为 $\{\begin{array}{c}x=t+3\\ y=3-t\end{array}$（参数 $t\in R$），圆 $C$的参数方程为 $\{\begin{array}{c}x=\cos \theta \\ y=2\sin \theta +2\end{array}$（参数 $\theta \in [0,2\pi ]$），则圆 $C$的圆心坐标为，圆心到直线 $l$的距离为.

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|+x+3$,则 $f\left(-2\right)$=；若 $f\left(x\right)\le 5$，则 $x$的取值范围是；

如图所示，圆 $O$ 的直径 $AB=6$ ， $C$ 为圆周上一点， $BC=3$ .过 $C$ 作圆的切线 $l$ ，过 $A$ 作 $l$ 的垂线 $AD,AD$ 分别与直线 $l$ 、圆交于点 $D$ 、 $E$ ，则∠ $DAC$ ＝ ，线段 $AE$ 的长为 。

已知 $ABC$的三个顶点的直角坐标分别为 $A(3,4)$、 $B(0,0)$、 $C(c,0)$

（１）若 $c=5$，求 $\sin \angle A$的值；
（２）若 $\angle A$为钝角，求 $c$的取值范围；

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨标准煤）的几组对照数据

(1) 请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $y=\hat{b}x+\hat{a}$ ；
(3)已知该厂技术改造前 $100$ 吨甲产品能耗为 $90$ 吨标准煤.试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产 $100$ 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考数据:  $3\times 2.5+4\times 3+5\times 4+6\times 4.5=66.5$ ）

在直角坐标系 $xOy$中，已知圆心在第二象限、半径为 $2\sqrt{2}$的圆 $C$与直线 $y=x$相切于坐标原点 $O$.椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1$与圆 $C$的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆 $C$的方程；
（2）试探究圆 $C$上是否存在异于原点的点 $Q$，使 $Q$到椭圆的右焦点 $F$的距离等于线段 $OF$的长，若存在求出 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

如图所示，等腰三角形 $△ABC$ 的底边 $AB=6\sqrt{6}$ ，高 $CD=3$ .点 $E$ 是线段 $BD$ 上异于 $B,D$ 的动点.点 $F$ 在 $BC$ 边上，且 $EF\perp AB$ .现沿 $EF$ 将 $△BEF$ 折起到 $△PEF$ 的位置，使 $PE\perp AE$ .
记 $BE=x,V\left(x\right)$ 表示四棱锥 $P-ACFE$ 的体积。
（1）求 $V\left(x\right)$ 的表达式；
（2）当 $x$ 为何值时， $V\left(x\right)$ 取得最大值？
（3）当 $V\left(x\right)$ 取得最大值时，求异面直线 $AC$ 与 $PF$ 所成角的余弦值。

已知 $a$是实数，函数 $f\left(x\right)=2a{x}^2+2x-3-a$，如果函数 $y=f\left(x\right)$在区间 $[-1,1]$上有零点，求实数 $a$的取值范围。

已知函数 $f\left(x\right)=x_2+x-1$， $\alpha$、 $\beta$是方程 $f\left(x\right)=0$的两个根( $\alpha >\beta$)， $f`\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的导数，设 $a_1=1$， $a_{n+1}=a_n-\frac{f\left(a_n\right)}{f`\left(a_n\right)}(n=1,2,...)$（n=1，2，…），

(Ⅰ)求 $\alpha$、 $\beta$的值；

(Ⅱ)已知对任意的正整数 $n$有 $a_n＞\alpha$，记 $b_n=\ln \frac{a_n-\beta }{a_n-\alpha }(n=1,2,...)$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$．