2013年全国统一高考文科数学试卷（全国Ⅰ卷）

已知集合 $A=\left\{1,2,3,4\right\}$， $B=\left\{\overline{)x}x=n^2,n\in A\right\}$，则 $A\cap B=$（）

$\frac{1+2i}{(1-i{)}^2}$=（）

从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，则 $C$的渐近线方程为（  ）

已知命题 $p:\forall x\in R$, $2^x<3^x$；命题 $q:\exists x\in R$, $x^3=1-x^2$，则下列命题中为真命题的是（  ）

设首项为1，公比为 $\frac{2}{3}$的等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，则（）

执行右面的程序框图，如果输入的 $t\in [-1,3]$，则输出的 $s$属于（）

$O$为坐标原点， $F$为抛物线 $C:y^2=4\sqrt{2}x$的焦点， $P$为 $C$上一点，若 $\left|PF\right|=4\sqrt{2}$，则 $△POF$的面积为（）

函数 $f\left(x\right)=(1-\cos x)\sin x$在 $[-\pi ,\pi ]$的图像大致为（   ）

已知锐角 $∆ABC$的内角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$， $23{\cos }^{2}A+\cos 2A=0$， $a=7$， $c=6$，则 $b=$（）

A．

B．

C．

D．

某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（  ）

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^2+2x,x\le 0\\ \ln \left(x+1\right),x>0\end{array}\right.$，若 $\left|f\left(x\right)\right|\ge ax$，则 $a$的取值范围是（）

已知两个单位向量 $a$， $b$的夹角为 $60°$， $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=t\stackrel{\rightharpoonup }{a}+(1-t)\stackrel{\rightharpoonup }{b}$，若 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}·\stackrel{\rightharpoonup }{c}=0$，则 $t=$.

设 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}1\le x\le 3\\ -1\le x-y\le 0\end{array}$，则 $z=2x-y$的最大值为。

已知 $H$是球 $O$的直径 $AB$上一点， $AH:HB=1:2$， $AB\perp$平面 $\alpha$， $H$为垂足， $\alpha$截球 $O$所得截面的面积为 $\pi$，则球 $O$的表面积为.

设当 $x=\theta$时，函数 $f\left(x\right)=\sin x-2\cos x$取得最大值，则 $\cos \theta =$.

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_3=0$， $S_5=-5$。
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2n-1}{a}_{2n+1}}\right\}$的前 $n$项和。

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 $A$药， $B$药）的疗效，随机地选取20位患者服用 $A$药，20位患者服用 $B$药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？

如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $CA=CB$， $AB=A{A}_1$， $\angle BA{A}_1=60°$.

（Ⅰ）证明： $AB\perp A_{1}C$；
（Ⅱ）若 $AB=CB=2$, $A_{1}C=\sqrt{6}$，求三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$的体积.

已知函数 $f\left(x\right)=e^x(ax+b)-x^2-4x$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(0,f(0\left)\right)$处切线方程为 $y=4x+4$。
（Ⅰ）求 $a,b$的值；
（Ⅱ）讨论 $f\left(x\right)$的单调性，并求 $f\left(x\right)$的极大值。

已知圆 $M:{\left(x+1\right)}^2+y^2=1$，圆 $N:{\left(x-1\right)}^2+y^2=9$，动圆 $P$与圆 $M$外切并且与圆 $N$内切，圆心 $P$的轨迹为曲线 $C$.
（Ⅰ）求 $C$的方程；
（Ⅱ） $l$是与圆 $P$，圆 $M$都相切的一条直线， $l$与曲线 $C$交于 $A$， $B$两点，当圆 $P$的半径最长是，求 $\left|AB\right|$.

如图，直线 $AB$为圆的切线，切点为 $B$，点 $C$在圆上， $\angle ABC$的角平分线 $BE$交圆于点 $E$， $DB$垂直 $BE$交圆于点 $D$。

（Ⅰ）证明： $DB=DC$；
（Ⅱ）设圆的半径为 $1$， $BC=\sqrt{3}$，延长 $CE$交 $AB$于点 $F$，求 $△BCF$外接圆的半径。

已知曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5\cos t\\ y=5+5\sin t\end{array}\right.$( $t$为参数),以坐标原点为极点, $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C_2$的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$.
（1）把 $C_1$的参数方程化为极坐标方程；
（2）求 $C_1$与 $C_2$交点的极坐标( $\rho \ge 0,0\le \theta <2\pi$).

已知函数 $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|+\left|2x+a\right|$， $g\left(x\right)=x+3$.
（Ⅰ）当 $a=-2$时，求不等式 $f\left(x\right)<g\left(x\right)$的解集；
（Ⅱ）设 $a>-1$，且当 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2})$时， $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$，求 $a$的取值范围。