2011年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）

有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5)  2  [15.5,19.5) 4  [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5)  1l  [31.5，35.5)  12  [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是(    )

复数 $-i+\frac{1}{i}=$（）

$l_1，l_2，l_3$是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

如图，正六边形 $ABCDEF$ 中， $\stackrel{\rightharpoonup }{BA}+\stackrel{\rightharpoonup }{CD}+\stackrel{\rightharpoonup }{EF}=$（）

函数 $f\left(x\right)$在点 $x=x_0$处有定义是 $f\left(x\right)$在点 $x=x_0$处连续的（）

在 $△ABC$中． ${\sin }^{2}A\le {\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-\sin B\sin C$.则 $A$的取值范围是（）

已知 $f\left(x\right)$ 是 $R$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时， $f\left(x\right)=(\frac{1}{2}{)}^x+1$ ，则 $f\left(x\right)$ 的反函数的图像大致是(  )

数列 $\left\{a_n\right\}$的首项为3， $\left\{b_n\right\}$为等差数列且 $b_n=a_{n+1}-a_n(n\in N^{*})$，若 $b_3=-2,b_{10}=12$，则 $a_3=$（）

某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往 $A$地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润(   )

在抛物线 $y=x^2+ax-5(a\ne 0)$上取横坐标为 $x_1=-4$， $x_2=2$的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5x^2+5y^2=36$相切，则抛物线顶点的坐标为(   )

已知定义在 $[0,+\infty )$上的函数 $f\left(x\right)$满足 $f\left(x\right)=3f(x+2)$，当 $x\in [0,2)$时， $f\left(x\right)=-x^2+2x$.设 $f\left(x\right)$在 $[2n-2,2n)$上的最大值为 $a_n(n\in N^{*})$，且 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n=$（  ）

在集合 $\left\{1,2,3,4,5\right\}$中任取一个偶数 $a$和一个奇数 $b$构成以原点为起点的向量 $a=\left(a,b\right)$.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积不超过 $4$的平行四边形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n}=$（）

计算 $\left(lg\frac{1}{4}-lg25\right)÷{100}^{-\frac{1}{2}}=$.

双曲线 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$上一点 $P$到双曲线右焦点的距离是4，那么点 $P$到左准线的距离是.

如图，半径为 $R$ 的球 $O$ 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是  .

函数 $f\left(x\right)$的定义域为 $A$，若 $x_1,x_2\in A$且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$时总有 $x_1=x_2$则称 $f\left(x\right)$为单函数.例如，函数 $f\left(x\right)=2x+1\left(x\in R\right)$是单函数.下列命题：
①函数 $f\left(x\right)$ $=x^2\left(x\in R\right)$是单函数；
②若 $f\left(x\right)$为单函数， $x_1,x_2\in A$且 $x_1\ne x_2$，则 $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$；

③若 $f：A\to B$为单函数，则对于任意 $b\in B$，它至多有一个原象；
④函数 $f\left(x\right)$在某区间上具有单调性，则 $f\left(x\right)$一定是单函数.
其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(x+\frac{7\pi }{4}\right)+\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right),x\in R$

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知 $\cos \left(\beta -\alpha \right)=\frac{4}{5},\cos \left(\beta +\alpha \right)=-\frac{4}{5}$， $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{2}$，求证： ${\left[f\left(\beta \right)\right]}^2-2=0$.

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$，求 $\xi$的分布列与数学期望 $E\xi$.

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中． $\angle BAC={90}^{°}$ ， $AB=AC=A{A}_1=1$ ． $D$ 是棱 $C{C}_1$ 上的一 $P$ 是 $AD$ 的延长线与的 $A_1{C}_1$ 延长线的交点，且 $P{B}_1//$ 平面 $BDA$ ．
(I)求证： $CD=C_{1}D$ ：
(II)求二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角的余弦值；   
(Ⅲ)求点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离．

设 $d$为非零实数, $a_n=\frac{1}{n}\left[C_n^{1}d+2C_n^2{d}^2+\cdots +\left(n-1\right)C_n^{n-1}{d}^{n-1}+n{C}_n^n{d}^n\right]\left(n\in N^{*}\right)$.

(I)&#xa0;写出 $a_1,a_2,a_3$并判断 $\left\{a_n\right\}$是否为等比数列.若是,给出证明；若不是,说明理由；
(II)设 $b_n=nd{a}_n\left(n\in N^{*}\right)$,求数列 $\left\{bn\right\}$的前 $n$项和 $S_n$．

椭圆有两顶点 $A\left(-1,0\right)$、 $B\left(1,0\right)$，过其焦点 $F\left(0,1\right)$的直线 $l$与椭圆交于 $C,D$两点，并与 $x$轴交于点 $P$．直线 $AC$与直线 $BD$交于点 $Q$．

（Ⅰ）当 $\left|CD\right|=\frac{3}{2}\sqrt{2}$时，求直线 $l$的方程；

（Ⅱ）当点 $P$异于 $A$、 $B$两点时，求证： $\stackrel{\rightharpoonup }{OP}·\stackrel{\rightharpoonup }{OQ}$为定值．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2},h\left(x\right)=\sqrt{x}$．

(I)设函数 $F\left(x\right)=f\left(x\right)-h\left(x\right)$，求 $F\left(x\right)$的单调区间与极值；
(Ⅱ)设 $a\in R$，解关于 $x$的方程 ${\log }_4[\frac{3}{2}f\left(x-1\right)-\frac{3}{4}]={\log }_{2}h\left(a-x\right)-{\log }_{2}h\left(4-x\right)$；

(Ⅲ)试比较 $f\left(100\right)h\left(100\right)-\underset{k=1}{\overset{100}{\sum }}h\left(k\right)$与 $\frac{1}{6}$的大小.