2011年全国统一高考理科数学试卷（福建卷）

$i$是虚数单位，若集合 $S=\left\{-1,0,1\right\}$，则

若 $a\in R$，则 $a=2$是 $(a-1)(a-2)=0$的（）

若 $\tan \alpha =3$，则 $\frac{\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$的值等于

如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为边 $CD$ 的中点，若在矩形 $ABCD$ 内部随机取一个点 $Q$ ，则点 $Q$ 取自 $△ABE$ 内部的概率等于

${\int }_0^1(e^2+2x)dx$等于

$(1+2x{)}^3$的展开式中， $x^2$的系数等于

设圆锥曲线 $r$的两个焦点分别为 $F_1,F_2$，若曲线 $r$上存在点 $P$满足 $\left|P{F}_1\right|:\left|F_1{F}_2\right|:\left|P{F}_2\right|=4:3:2$，则曲线 $r$的离心率等于（）

已知 $O$是坐标原点，点 $A(-1,1)$若点 $M(x,y)$为平面区域 $\{\begin{array}{c}x+y\ge 2\\ x\le 1\\ y\le 2\end{array}$上的一个动点，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OM}$的取值范围是（）

对于函数 $f\left(x\right)=a\sin x+bx+c$(其中， $a,b\in R,c\in Z$),选取 $a,b,c$的一组值计算 $f\left(1\right)\mathrm{和}f(-1)$所得出的正确结果一定不可能是（）

已知函数 $f\left(x\right)=e+x$，对于曲线 $y=f\left(x\right)$上横坐标成等差数列的三个点 $A,B,C$，给出以下判断：
① $△ABC$一定是钝角三角形
② $△ABC$可能是直角三角形
③ $△ABC$可能是等腰三角形

④ $△ABC$不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是（）

运行如图所示的程序，输出的结果是.

三棱锥 $P-ABC$中， $PA\perp$底面 $ABC$， $PA=3$，底面 $ABC$是边长为 $2$的正三角形，则三棱锥 $P-ABC$的体积等于。

何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于。

如图, $∆ABC$中, $AB=AC=2,BC=2\sqrt{3}$,点 $D$在 $BC$边上, $\angle ADC={45}^{°}$,则 $AD$的长度等于.

设V是全体平面向量构成的集合，若映射 $f:V\to R$满足：对任意向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(x_1,y_1)\in V$ $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(x_2,y_2)\in V$，

以及任意 $\lambda \in R$，均有 $f(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\lambda +(1-\lambda \left)\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right)=\lambda f\left(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right)+(1-\lambda )f\left(\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right)$则称映射 $f$具有性质 $P$.现给出如下映射：

① $f_1:V\to R,f_1\left(m\right)=x-y,m=(x,y)\in V;$

② $f_2:V\to R,f_2\left(m\right)=x^2+y,m=(x,y)\in V;$

③ $f_3:V\to R,f_3\left(m\right)=x+y+1,m=(x,y)\in V$.

其中，具有性质 $P$的映射的序号为.（写出所有具有性质P的映射的序号)

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$的公比 $q=3$，前3项和 $S_3=\frac{13}{3}$。
（I）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（II）若函数 $f\left(x\right)=A\sin (2x+\phi )(A>0,0<\phi <\rho <\pi )$在 $x=\frac{\pi }{6}$处取得最大值，且最大值为 $a_3$，求函数 $f\left(x\right)$的解析式.

已知直线 $l:y=x+m,m\in R.$

（I）若以点 $M\left(2,0\right)$为圆心的圆与直线 $l$相切与点 $P$，且点 $P$在 $y$轴上，求该圆的方程；
（II）若直线 $l$关于x轴对称的直线为 $l`$，问直线 $l`$与抛物线 $C:x^2=4y$是否相切？说明理由.

商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 $y$(单位：千克)与销售价格 $x$(单位：元/千克)满足关系式 $y=\frac{a}{x-3}+10{\left(x-6\right)}^2$，其中 $3<x<6$， $a$为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1) 求 $a$的值；
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格 $x$的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 $X$ 依次为1,2，……，8，其中 $X\ge 5$ 为标准 $A$ ， $X\ge 3$ 为标准 $B$ ，已知甲厂执行标准 $A$ 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准 $B$ 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数 $X_1$ 的概率分布列如下所示：

且 $X_1$ 的数字期望 $E{X}_1$ =6，求 $a,b$ 的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数 $X_2$ ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 $X_2$ 的数学期望.
(III)在（I）、（II）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD$ ，四边形 $ABCD$ 中， $AB\perp AD,AB+AD=4,CD=\sqrt{2},\angle CDA={45}^{°}$ .

（I）求证：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$ ；
（II）设 $AB=AP$ .
（i）若直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 ${30}^{°}$ ，求线段 $AB$ 的长；
（ii）在线段 $AD$ 上是否存在一个点 $G$ ，使得点 $G$ 到点 $P,B,C,D$ 的距离都相等？说明理由.

设矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$（其中 $a>0,b>0$）.
（I）若 $a=2,b=3$，求矩阵M的逆矩阵 $M^{-1}$；
（II）若曲线 $C:x^2+y^2=1$在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线 $C`:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，求 $a,b$的值.

在直接坐标系 $xOy$中，直线 $l$的方程为 $x-y+4=0$，曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos a\\ y=\sin a\end{array}\right.$.
（I）已知在极坐标（与直角坐标系 $xOy$取相同的长度单位，且以原点 $O$为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点 $P$的极坐标为 $(4,\frac{\pi }{2})$，判断点 $P$与直线 $l$的位置关系；
（II）设点 $Q$是曲线 $C$上的一个动点，求它到直线 $l$的距离的最小值.

设不等式 $\left|2x-1\right|<1$的解集为 $M$.
（I）求集合 $M$；
（II）若 $a,b\in$ $M$，试比较 $ab+1$与 $a+b$的大小.