普通高等学校招生全国统一考试文科数学

若数 ($i$为虚数单位) 在复平面内所对应的点在

若集合$A=\{x\in \overline{)R}a{x}^2+ax+1\}$中只有一个元素，则$a$=（ ）

若 $\sin \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,则 $\cos a=$

若集合 $A=\{2,3\},B=\{1,2,3\}$，从 $A,B$中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是

总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

下列选项中，使$x<\frac{1}{x}<x^2$成立的$x$的取值范围是（）

A．

$\left(-\infty ,-1\right)$

B．

C．

D．

$\left(1,+\infty \right)$

阅读如下程序框图，如果输出 $i=4$，那么空白的判断框中应填入的条件是

一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

已知点 $A(2,0)$，抛物线 $C:x^2=4y$的焦点 $F$.射线 $FA$与抛物线 $C$相交于点 $M$，与其准线相交于点 $N$，则 $\left|FM\right|:\left|MN\right|=$（   ）

如图，已知$l_1\perp l_2$，圆心在$l_1$上，半径为$1cm$的圆$O$在$t=0$时与$l_2$相切于点$A$，圆$O$沿$l_1$以$1m/s$的速读匀速向上移动，圆被直线$l_2$所截上方圆弧长记为$x$，令$y=\cos x$，则$y$与时间$t\left(0<t<1,\mathrm{单位}:s\right)$的函数$y=f\left(t\right)$的图像大致为（）

若曲线$y=x^{\alpha }(\alpha \in R)$在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则$\alpha$=

某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数$n\left(n\in N_{+}\right)$等于.

设$f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin 3x+\cos 3x$，若对任意实数$x$都有$\left|f\left(x\right)\right|\le a$，则实数$a$的取值范围是.

若圆 $C$经过坐标原点和点（4，0），且与直线 $y=1$相切，则圆 $C$的方程是.

如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 $\alpha$上，且 $AB//CD$,则直线 $EF$与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.

正项数列$\left\{a_n\right\}\mathrm{满足}{a_n}^2-\left(2n-1\right)a_n-2n=0$.

$$\begin{gathered} \left(1\right) \mathrm{求数列}\left\{a_n\right\}\mathrm{通项公式}{a}_n; \\ \left(2\right) 令b_n=\frac{1}{\left(n+1\right)a_n},\mathrm{求数列}\left\{b_n\right\}前n\mathrm{项的和}{T}_n. \end{gathered}$$

在$△ABC$中，角$A,B,C$的对边分别是$a,b,c$，已知$\sin A\sin B+\sin B\sin C+2\cos 2B=1$.

（1）求证：$a,b,c$成等差数列；

（2）若$C=\frac{2}{3}\pi$，求$\frac{a}{b}$的值.

小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以$O$为起点，再从$A_1，A_2，A_3，A_4，A_5，A_6$（如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为$X$，若$X>0$就去打球，若$X=0$就去唱歌，若$X<0$就去下棋。
（1）写出数量积$X$的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。

如图，直四棱柱$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，$AB\parallel CD$，$AD\perp AB$，$AB=2$，$AD=\sqrt{2}$，$A{A}_1=3$，$E$为$CD$上一点，$DE=1$，$EC=3$

（1）证明：$BE\perp$平面$B{B}_1{C}_{1}C$；
（2）求点$B_1$到平面$E{A}_1{C}_1$的距离。

椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2},a+b=3$.

（1）求椭圆 $C$的方程；
（2）如图， $A,B,D$是椭圆 $C$的顶点， $P$是椭圆 $C$上除顶点外的任意一点，直线 $DP$交 $x$轴于点 $N$，直线 $AD$交 $BP$于点 $M$.设 $BP$的斜率为 $k$， $MN$的斜率为 $m$.证明： $2m-k$为定值.

设函数$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}x,0\le x\le a\\ \frac{1}{1-a}(1-x),a<x\le 1\end{array}\right.$.$a$为常数且$a\in (0,1)$.

（1）当$a=\frac{1}{2}$时，求$f\left(f\right(\frac{1}{3}\left)\right)$；
（2）若$x_0$满足$f\left(f\right(x_0\left)\right)=x_0$，但$f\left(x\right)\ne 0$，则称$x_0$为$f\left(x\right)$的二阶周期点.证明函数$f\left(x\right)$有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点$x_1,x_2$；
（3）对于（2）中的$x_1,x_2$，设$A(x_1,f(f\left(x_1\right)\left)\right),B(x_2,f(f\left(x_2\right)\left)\right),C(a^2,0)$，记$△ABC$的面积为$S\left(a\right)$，求$S\left(a\right)$在区间$[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$上的最大值和最小值。