全国普通高等学校招生统一考试理科数学

设复数$z_1$，$z_2$在复平面内的对应点关于虚轴对称，$z_1=2+i$，则$z_1{z}_2=$（）

设向量$a,b$满足$\left|a+b\right|=\sqrt{10}$，$\left|a-b\right|=\sqrt{6}$，则$a-b$= (   )

钝角三角形$ABC$的面积是$\frac{1}{2}$，$ab=1$，$BC=\sqrt{2}$ ，则$AC=$（）

某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是$0.75$，连续两天为优良的概率是$0.6$，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1$cm$）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3$cm$，高为6$cm$的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

执行右图程序框图，如果输入的$x,t$均为2，则输出的$S=$（   ）

设曲线$y=ax-\ln \left(x+1\right)$在点$\left(0,0\right)$的切线方程为$y=2x$，则$a$=（）

设$F$为抛物线$C:y^2=3x$的焦点，过$F$且倾斜角为30°的直线交$C$于$A,B$两点，$O$为坐标原点，则$∆OAB$的面积为（）

直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中, $\angle BCA={90}^{°},M,N$分别是 $A_1{B}_1,A_1{C}_1$的中点, $BC=CA=C{C}_1$,则 $BM$与 $AN$所成的角的余弦值为（）

设函数$f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin \frac{\pi x}{m}$.若存在$f\left(x\right)$的极值点$x_0$满足${x_0}^2+\left[f\right(x_0){]}^2<m^2$，则$m$的取值范围是（  ）

${\left(x+a\right)}^{10}$的展开式中，$x^7$的系数为15，则$a$=________.(用数字填写答案)

函数$f\left(x\right)=\sin (x+2\phi )-2\sin \phi \cos (x+\phi )$的最大值为.

已知偶函数 $f\left(x\right)$在 $[0,+\infty )$单调递减， $f\left(2\right)=0$.若 $f(x-1)>0$，则 $x$的取值范围是.

设点 $M(x_0,1)$，若在圆 $O:x^2+y^2=1$上存在点 $N$，使得 $\angle OMN={45}^{°}$，则 $x_0$的取值范围是.

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+1$
（1）证明$\left\{a_n+\frac{1}{2}\right\}$是等比数列，并求$\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+......+\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}$.

如图，四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，$PA\perp \mathrm{平面}ABCD$，$E$为$PD$的中点.
（1）证明：$PB\parallel \mathrm{平面}AEC$；
（2）设二面角$D-AE-C$为60°，$AP=1$，$AD=\sqrt{3}$，求三棱锥$E-ACD$的体积.

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入$y$（单位：千元）的数据如下表：

（1）求$y$关于$t$的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，

设$F_1,F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦点，$M$是$C$上一点且$M{F}_2$与$x$轴垂直，直线$M{F}_1$与$C$的另一个交点为$N$.
（1）若直线$MN$的斜率为$\frac{3}{4}$，求$C$的离心率；
（2）若直线$MN$在$y$轴上的截距为2，且$\left|MN\right|=5\left|F_{1}N\right|$，求$a,b$.

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}-2x$.
（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（2）设 $g\left(x\right)=f\left(2x\right)-4bf\left(x\right)$，当 $x>0$时， $g\left(x\right)>0$,求 $b$的最大值；
（3）已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$，估计 $\ln 2$的近似值（精确到0.001）.

如图，$P$是$O$外一点，$PA$是切线，$A$为切点，割线$PBC$与$O$相交于点$B,C$，$PC=2PA$，$D$为$PC$的中点，$AD$的延长线交$O$于点$E$.

证明：（1）$BE=EC$；
（2）$AD·DE=2P{B}^2$

在直角坐标系$xoy$中，以坐标原点为极点，$x$轴为极轴建立极坐标系，半圆$C$的极坐标方程为$\rho =2\cos \theta$，$\theta \in [0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}]$.
（1）求$C$的参数方程；

（2）设点$D$在$C$上，$C$在$D$处的切线与直线$l:y=\sqrt{3}x+2$垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定$D$的坐标.

设函数$f\left(x\right)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+\left|x-a\right|(a>0)$.

（1）证明：$f\left(x\right)\ge 2$；
（2）若$f\left(3\right)<5$，求$a$的取值范围.